Apsolutna konvergencija

Za matematički niz ili integral kaže se da je apsolutno konvergentan, ako je suma niza ili integral apsolutnih vrednosti članova niza ili funkcije pod integralom konačna.

Apsolutna konvergencija matematičkog niza

Realan ili kompleksni niz $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je apsolutno konvergentan ako: $\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty .$

Apsolutna konvergencija integrala

Integral:

$\int _{A}f(x)\,dx$

je apsolutno konvergentan ako je integral apsolutne vrednosti integraljene funkcije konačan:

$\int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .$

Primeri

• Niz $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}$ je apsolutno konvergentan jer važi: $\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$.

• Niz stepeni eksponencijalne funkcije $\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}$ je apsolutno konvergentan za svako kompleksno $z\;$.
• Generalno važi da je niz potencija realnog ili kompleksnog argumenta apsolutno konvergentan unutar radijusa konvergencije.
• Alternirajući harmonijski niz $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}$ je konvergentan. On, međutim, nije apsolutno konvergentan, jer ako pokušamo da dokažemo konvergenciju dobijamo: $\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$, što je niz poznat kao harmonijski niz. Taj niz je divergentan.

Vidi još

• Konvergencija
• Divergencija