Valjak (geometrija)

Valjak ili cilindar (od grčke reči kýlindros — kotrljati, valjati) je konveksno geometrijsko telo. Može se definisati pomoću jedne elipse i duži u prostoru. Ukoliko se jedno teme date duži postavi u centar date elipse, a elipsa neprekidno umnožava duž nje, dobijeno telo će biti upravo valjak. Pritom su radijusi ove elipse takođe radijusi valjka, dužina date duži je dužina izvodnice valjka, a rastojanje između ravni kojima pripadaju dve najudaljenije elipse visina valjka. Prava kojoj pripada data duž se naziva osa valjka. Elipsa od koje je razvoj tela krenuo se naziva baza valjka. Površ koja ograničava valjak, kada mu se oduzmu dve elipse sa centrima u temenima date duži, se zove omotač valjka.

Ukoliko je osa valjka normalna na bazu valjka, telo se zove pravi valjak, kod koga su dužine izvodnice i visine jednake. U suprotnom se radi o kosom valjku, čija je izvodnica uvek duža od visine. Zavisno od toga da li je baza prava elipsa ili krug, valjak se zove eliptični, odnosno kružni valjak.

Osobine valjka

Pravi kružni valjak

Kosi kružni valjak

Kao geometrijsko telo, valjak ima svoju površinu i zapreminu.

Površina valjka

Površina valjka (P) se određuje kao zbir površine omotača valjka i dvostruka površina njegove baze. Površina omotača se određuje kao proizvod dužina obima baze i izvodnice valjka. Opšta formula za površinu valjka glasi:

$P=2P(B)+P(M)\,$

Pri čemu P(B) predstavlja površinu baze, a P(M) površinu omotača valjka. Površina omotača je već opisana kao:

$P(M)=O(B)\cdot l=2r\pi \cdot l$

Pri čemu treba voditi računa da kod pravog valjka važi i h=l. Kod kosih valjaka izvodnica ne mora uvek biti data eksplicitno. Moguće ju je izračunati pomoću dužine visine (h) i jednog ugla. Obično je to ugao između baze i ose valjka, ili njegov komplement, tj. ugao između normale na bazu i ose valjka. Tako se mogu izdvojiti dve formule:

$h=l\cdot \sin \alpha$, iliti $l={\frac {h}{\sin \alpha }}$

$h=l\cdot \cos(\pi /2-\alpha )$, ili $l={\frac {h}{\cos(\pi /2-\alpha )}}$

Zapremina valjka

Zapremina valjka (V) se određuje kao proizvod površine bazne elipse i visine valjka. Njena opšta formula bi glasila:

$V=B\cdot h$

Gde B predstavlja površinu baze, a h visinu valjka. Visina valjka nije uvek data eksplicitno, i može se odrediti pomoću dužine izvodnice i jednog ugla, kao što je to opisano u prethodnom zaglavlju.

Izvedene formule

Oznake su: r za poluprečnik kružne baze, h za visinu valjka, l za dužinu izvodnice i α za ugao između baze i ose valjka.

Za pravi kružni valjak:

$P=2P(B)+P(M)=2(r^{2}\pi )+2r\pi \cdot h=2r\pi \left(r+h\right)$

$V=P(B)\cdot h=(r^{2}\pi )\cdot h$

Za kosi kružni valjak:

$P=2P(B)+P(M)=2(r^{2}\pi )+Oel\cdot l,$

$O_{el}=\pi \cdot \left[3\left(a+b\right)-{\sqrt {\left(3a+b\right)\left(a+3b\right)}}\right]$

Obim elipse u ravni normalnoj na osu valjka, izračunava se pomoću beskonačnog reda, sa prethodno izračunatim poluosama elipse u zavisnosti od ugla nagiba valjka.

$V=r^{2}\pi \cdot h=r^{2}\pi \cdot l\sin \alpha$

Preseci valjka

Presek valjka i ravni može biti kriva drugog reda, pravougaonik, kvadrat ili romb, što zavisi od toga kako je postavljena ravan u odnosu na osnovu i osu valjka. Kriva drugog reda: elipsa, ako ravan seče valjak između osnova i pod uglom je u odnosu na njih, parabola, ako istovremeno seče omotač i bazu valjka.

Primeri

Primer 1:

Izračunati zapreminu pravog kružnog valjka ako njegova površina iznosi $P=2\pi m^{2}$, a visina mu je tri puta veća od poluprečnika.

Rešenje:

Ako se odnos zadat u uslovu zadatka ($h=3\cdot r$) primeni u obrazac za računanje površine pravog valjka dobija se:

$P=2r\pi \cdot (r+h)=2r\pi \cdot (r+3\cdot r)=2r\pi \cdot 4r=8r^{2}\pi$

Ako se poluprečnik izrazi preko poznatih veličina:

$r^{2}={\frac {P}{8\pi }}={\frac {2\pi m^{2}}{8\pi }}={\frac {1}{4}}m^{2}$

$r={\frac {1}{2}}m$, $h={\frac {3}{2}}m$

Zamenom dobijenih vrednosti za poluprečnik i visinu u obrazac za zapreminu dobija se:

$V=r^{2}\pi \cdot h=({\frac {1}{2}}m)^{2}\pi \cdot {\frac {3}{2}}m={\frac {3}{8}}\pi m^{3}$

Primer 2:

Izračunati površinu šupljeg valjka čija visina iznosi $h=10cm$, poluprečnik spoljašnjeg valjka iznosi $r_{1}=6cm$, a unutrašnjeg $r_{2}=4cm$.

Rešenje:

Tražena površina je zbir omotača spoljašnjeg i unutrašnjeg valjka i razlike površina njihovih baza (kružni prsten):

$P=M_{1}+M_{2}+B_{1}-B_{2}$

$P=2r_{1}\pi \cdot h+2r_{2}\pi \cdot h+r_{1}^{2}\pi -r_{2}^{2}\pi =\pi \cdot (2\cdot h\cdot (r_{1}+r_{2})+(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}))$

Zamenom zadatih vrednosti dobija se:

$P=\pi \cdot (2\cdot 10\cdot (6+4)cm^{2}+(6^{2}-4^{2})cm^{2})=\pi \cdot (200+(36-16))cm^{2}=220\pi cm^{2}$

Primer 3:

Ako je osni presek pravog valjka kvadrat površine $P_{k}$ izračunati površinu valjka.

Rešenje:

Ako je osni presek valjka kvadrat, to znači da je visina valjka (h) jednaka njegovom prečniku (2r), odnosno stranici kvadrata (a):

$h=2r=a$

Površina kvadrata izražena preko njegove stranice (a) je:

$P_{k}=a^{2}$

Površina valjka:

$P_{v}=2r\pi \cdot (r+h)=a\pi ({\frac {a}{2}}+a)={\frac {3}{2}}a^{2}\pi ={\frac {3}{2}}\pi P_{k}$