Gausov zakon

U fizici, Gausov zakon, poznat i kao Gausova teorema o fluksu, je zakon koji se odnosi na raspodelu naelektrisanja do postignuća električnog polja.

Zakon je formulisao Karl Fridrih Gaus 1835. godine, ali nije objavljen do 1867. godine. Gausov zakon je je jedna od četiri Maksvelove jednačine koji čine osnovu klasične elektrodinamike, ostala tri su Gausov zakon magnetizma, Faradejev zakon elektromagnetske indukcije i Amperov zakon sa Maksvelovom korekcijom. Gausov zakon se može koristiti za izvođenje Kulonovog zakona, i obrnuto.

Kvalitativni opis zakona

Gausov zakon kaže da je:

Ukupan električni fluks kroz bilo kakvu zatvorenu površinu je jednak količniku dielektrične konstante i ukupnog naelektrisanja unutar te površine.

Gausov zakon ima bliske matematičke sličnosti sa nekoliko zakona u drugim oblastima fizike, kao što su Gausov zakon magnetizma i Gausov zakon gravitacije. U stvari, bilo koji "inverzno-kvadratni zakon" može da se formuliše na način sličan Gausovom zakonu. Na primer, sam Gausov zakon je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Kulonovog zakona, i Gausov zakon gravitacije je u suštini jednaka inverznom-kvadratu Njutnovog zakona gravitacije.

Gausov zakon je u neku ruku analogan Amperovom zakonu, koja se bavi magnetizmom.

Zakon se može vektorima izraziti u integralnoj i u diferencijalnoj formi. Obe forme su ekvivalentne, jer su vezane Gaus-Ostrogradskovom teoremom. Svaki od ovih oblika zauzvrat može se izraziti na dva načina: kao odnos između električnog polja E i ukupnog naelektrisanja ili kao odnos vektora dielektričnog pomjeraja D i slobodanog naelektrisanja.

Primena Gasove teoreme u određivanju električnog polja

Gausov zakon se može konstatovati pomoću ili električnog polja E ili vektora dielektričnog pomjeraja D. Ovaj deo pokazuje neke od formula sa E, formula sa D je u sledećoj sekciji.

Integralni oblik

Gausov zakon se može izraziti kao:

$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

gde je Φ_E je električni fluks kroz zatvorenu površinu S, Q je ukupno naelektrisanje unutar površine S a ε₀ je dielektrična konstanta. Električni fluks Φ_E se definiše kao površinski integral električnog polja:

$\Phi _{E}=$$\scriptstyle _{S}$$\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

gde je E električno polje, dA je vektor koji je predstavlja infinitezimalni dio površine S i normalan je na taj dio površine a · predstavlja skalarni proizvoda dva vektora.

Pošto je fluks definisan kao integral električnog polja, ovaj izraz Gausovog zakona se zove integralnim oblikom.

Primena integralnog oblika

Ako je električno polje poznato svuda, Gausov zakon čini prilično lakim, teoretski, određivanje raspodjele naelektrisanja: naelektrisanje u svakom regionu može bit određeno integrisanjem električnog polja kako bi se našao fluks.

Međutim, mnogo češće, potrebno je da riješimo obrnuti problem: poznata je raspodela naelektrisanja dok električno polje treba izračunati. To je mnogo teže, jer i ako možemo odrediti električni fluks kroz neku datu površinu, to nam nije dovoljno da odredimo pravac, smjer i intenzitet električnog polja koji može da bude veoma kompleksnog oblika.

Izuzetak je slučaj kada postoji određena doza simetrije, koji bu definisala da je električno polje uniformno kroz površinu. U tom slučaju ako je ukupan fluks poznat moguće je odrediti pravac, smjer i intenzitet polja u svakoj tački. Uobičajeni primeri simetrije pogodni za Gausov zakon uključuje cilindričnu simetriju, planarnu simetriju i sfernu simetriju.

Diferencijalna forma

Prema teoremi Gaus-Ostrogradskog, Gausov zakon može alternativno biti napisan u diferencijalnoj formi:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

gde ∇ • E je divergencija električnog polja, ε₀ je električna konstanta, i ρ je gustina električnog naelektrisanja.

Jednakost integralnog i diferencijalog oblika

Integralni i diferencijali oblici su matematički ekvivalentni, po teoremi divergencije. Evo i konkretnog argumenta.

Integralni oblik Gausovog zakona je:

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

za bilo koje zatvorene površine S koja sadrži naelektrisanje Q. po divergentnoj teoremi, ova jednačina je jednaka ovoj:

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

za bilo koji jačinu V koji sadrži naelektrisanje Q. Od odnosa između naelektrisanja i gustine naelektrisanja, ova jednačina je jednaka ovoj:

$\iiint \limits _{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \ \mathrm {d} V=\iiint \limits _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\ \mathrm {d} V$

za bilo koji jačinu V. Da bi ova jednačine bila 'istovremeno važeća' u svakoj mogućoj jačini V, potrebno je (a i dovoljna) da integracija budu jednaki svuda. Dakle, ova jednačina je jednaka ovom:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Tako su integralni i diferencijalni oblici ekvivalentni.

Primena Gausove teoreme u dielektricima

Slobodno, vezano i ukupno naelektrisanje

Naelektrisanje koje se postavlja u najjednostavnijim situacijama moglo bi se klasifikovati kao „slobodno“, na primer, naboj koji se prenosi u statički elektricitet, ili je naelektrisanje na kondenzatorskoj ploči. Nasuprot tome, „površinsko naelektrisanje“ se javlja samo u kontekstu dielektričnih materijala. (Svi materijali su polarizovani donekle.) Kada su ti materijali smešteni u spoljašnjem električnom polju, elektroni i dalje ostaju vezani za svoj atom, ali pomere mikroskopsko rastojanje u odgovoru na polje, tako da su oni više na jednoj strani atoma. Sva ova mikroskopska pomeranja u gore datoj makroskopskoj mrežoj raspodeli naelektrisanja, a to predstavlja „vezano naelektrisanje“.

Iako mikroskopska, sva naelektrisanja su u osnovi ista, često postoje praktični razlozi koji žele da se vezano naelektrisanje tretira drugačije od slobodnog naelektrisanja. Rezultat je da je više „osnovni“ Gausov zakon, u smislu E (gore), se ponekad stavlja u formu ekvivalentna ispod, što je samo u odnosu na D i slobodnog naelektrisanja.

Integralni oblik

Ova formulacija Gausovog zakona navodi analogno ukupnom obliku naelektrisanja:

$\Phi _{D}=Q_{\text{free}}\!$

gde je Φ_D D-polja fluks kroz površinu S koji obuhvata zapreminu V, i Q_free je slobodno naelektrisanje koje se sadrži u V. Fluks Φ_D analogno se definiše na fluks Φ_E električnog polja E kroz S:

{{preintegral=$\Phi _{D}=$|intsubscpt=${\scriptstyle S}$|integrand=$\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$}}

Diferencijalni oblik

Diferencijalni oblik Gausovog zakona, uključući sao besplatno naelektrisanje, daje:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}$

gde ∇ • D je divergencija električnog polja pomeranja, a ρ_free je gustina besplatanog naelektrisanja.

Jednakost ukupnog i slobodnog naelektrisanja

Dokaz da formulisanje Gausovog zakona u okviru slobodnog naelektrisanja ju ekvivalentne formulisanje koje obuhvata ukupno naelektrisanje.

U ovoj dokaza, mi ćemo pokazati da jednačina

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

je ekvivalentna jednačini

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free} }$

Imajte na umu da se samo bavimo diferencijalnim oblikom, ne integralnim oblikom, ali to je dovoljno, jer diferencijalni i integralni oblici su jednaki u svakom slučaju, po divergencijskoj teoremi.

Uvodimo gustinu polarizacije P, koja ima sledeći odnos prema E i D:

$\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$

i sledeći odnos na vezano naelektrisanje:

$\rho _{\mathrm {bound} }=-\nabla \cdot \mathbf {P}$

Sada, ijamte u vidu tri jednačine:

$\rho _{\mathrm {bound} }=\nabla \cdot (-\mathbf {P} )$

$\rho _{\mathrm {free} }=\nabla \cdot \mathbf {D}$

$\rho =\nabla \cdot (\epsilon _{0}\mathbf {E} )$

Ključni uvid je da je zbir prve dve jednačine treća jednačina. Ovim se završava dokaz: Prva jednačina je istina po definiciji, i stoga druga jednačina važi ako i samo ako je treća jednačina istinita. Dakle, druga i treća jednačina su ekvivalentne, što je ono što smo želeli da dokažemo.

Jednačina za linearne materijale

U homogenim, izotropnim, Disperzivnim, linearnim materijalima, postoji jednostavan odnos između E i D:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

gde je ε dielektrična konstanta materijala. U slučaj vakuuma (tj slobodanog prostora), ε = ε₀. Pod ovim okolnostima, Gausov zakon se menja u

$\Phi _{E}={\frac {Q_{\text{free}}}{\epsilon }}$

u integralnom obliku, i

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\text{free}}}{\varepsilon }}$

u diferencijalnom obliku.

Odnos prema Kulonovom zakonu

Podsticanje Gausovog zakon iz Kulonovog zakona

Gausov zakon se može izvesti iz Kulonovog zakona.

Kulonov zakon navodi da je električno polje zbog stacionarne tačka naelektrisanja:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$

gde je

e_r je radijalna vektorska jedinica,

r je radijus, |r|,

$\epsilon _{0}$ je električna konstanta,

q je naelektrisanje čestice, za koji se pretpostavlja da se nalazi u koordinatnom početku.

Koristeći izraz iz Kulonovog zakona, dobijamo ukupnu polje u r koristeci integral za sabiranje polja u r zbog premalog naelektrisanja na svakom drugom mestu s u prostoru, da daje:

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {s} )(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}\,d^{3}\mathbf {s}$

gde je $\rho$ gustina naelektrisanja. Ako uzmemo divergentnost obe strane ove jednačine u odnosu na r, i iskoriste poznatu teoremu

$\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$

gde je δ(r) Dirakova delta funkcija, rezultat je

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\,d^{3}\mathbf {s}$

Korišćenje "tranzlacionog pomeranja"iz Dirakove delta funkcije, stižemo u

$\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}},$

što je diferencijalni oblik Gausovg zakon, kao sto je i trženo.

Podsticanje Kulonovog zakon od Gausovg zakona

Strogo govoreći, Kulonov zakon se ne može izvesti sama iz Gausovg zakona, jer Gausov zakon ne daje nikakve informacije u vezi sa Rotorovim (matematika) E (vidi Helmholcovo raspadanje i Faradejev zakon). Međutim, Kulonov zakon može da se dokaže Gausovim zakonom ako se pretpostavi, kao dodatak, da je električno polje od tačke naelektrisanja sferno-simetrično (ova pretpostavka, kao i sam Kulonov zakona, je potpuno istinit ako je naelektrisanje stacionarno, a približno tačno ako je naelektrisanje u pokretu).

Uzimajući S u integralnom obliku Gausovog zakona da bude sferična površina poluprečnika r, centriran u tački naelektrisanja Q, imamo

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

Po pretpostavci sferne simetrije, integrand je konstanta koja se može izneti iz integrala. Rezultat je

$4\pi r^{2}{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

Gde je ${\hat {\mathbf {r} }}$ jedinični vektor koji ukazuje radijalno od naelektrisanja. Opet po sfernoj simetriji, E tačke u radijalnom pravcu, i tako dobijamo

$\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}$

što je u suštini jednaka Kulonovom zakonu. Prema inverznao-kvadratnim zakonom zavisnost električnog polja u Kulonovom zakonu sledi iz Gausovog zakona.

Vidi još

• Maksvelove jednačine
• Karl Fridrih Gaus
• Magnetni fluks
• Električno polje
• Kulonov zakon
• Amperov zakon

Literatura

• Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution. 
• Jackson, John David . Classical Electrodynamics, , New York: Wiley. (3rd изд.). 1999. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3
• McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
• Irodov, I.E. (1986). Basic Laws of Electromagnetism. Mir Publishers, CBS Publishers & Distributors. ISBN 81-239-0306-5
• Matveev. A. N. (1986). Electricity and Magnetism. Mir Publishers.
• C.A. Gonano; R.E. Zich; M. Mussetta (2015). „Definition for Polarization P and Magnetization M Fully Consistent with Maxwell's Equations” (PDF). Progress in Electromagnetics Research B. 64: 83—101. doi:10.2528/PIERB15100606 . Arhivirano iz originala (PDF) 17. 10. 2020. g. Pristupljeno 08. 10. 2023. 
• Gray, Andrew (1888). The theory and practice of absolute measurements in electricity and magnetism. Macmillan & Co. str. 126–127. 

Spoljašnje veze

• Mediji vezani za članak Gausov zakon na Vikimedijinoj ostavi
• MIT Video Lecture Series (30 x 50 minute lectures)- Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• section on Gauss's law in an online textbook Arhivirano na sajtu Wayback Machine (27. maj 2010)
• MISN-0-132 Gauss's Law for Spherical Symmetry (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.
• MISN-0-133 Gauss's Law Applied to Cylindrical and Planar Charge Distributions (PDF file) by Peter Signell for Project PHYSNET.