Википедија

Teorema

у математици тврдња која је доказана

Teorema (latinski: theōrēma, od grčkog: theōrein što u prevodu znači posmatrati) je ideja čija se istinitost može dokazati principima deduktivnog zaključivanja. Razlikuje se od aksioma po tome što se njena istinitost može utvrditi i za to služi postupak dokazivanja, odnosno izvođenja dokaza. Lema je teorema koja je međukorak u izvođenju opštije teoreme. Korolarija je teorema koja je direktna posledica neke osnovne teoreme ili aksioma.

Pitagorina teorema ima najmanje 370 poznatih dokaza.[1]

U matematici, teorema je tvrdnja koja je dokazana ili se može dokazati.[a][2][3] Dokaz teoreme je logički argument koji koristi pravila zaključivanja deduktivnog sistema da bi utvrdio da je teorema logična posledica aksioma i prethodno dokazanih teorema.

U glavnom toku matematike, aksiomi i pravila zaključivanja se obično ostavljaju implicitno, i, u ovom slučaju, oni su skoro uvek oni iz Zermelo-Frankelove teorije skupova sa aksiomom izbora ili manje moćne teorije, kao što je Peano aritmetika. Značajan izuzetak je Vajlsov dokaz Fermaove poslednje teoreme, koji uključuje Grotendikove univerzume čije postojanje zahteva dodavanje novog aksioma teoriji skupova.[b] Generalno, tvrdnja koja se eksplicitno naziva teorema je dokazan rezultat koji nije neposredna posledica drugih poznatih teorema. Štaviše, mnogi autori kvalifikuju kao teoreme samo najvažnije rezultate, a koriste termine lema, propozicija i posledica za manje važne teoreme.

U matematičkoj logici, koncepti teorema i dokaza su formalizovani kako bi se omogućilo matematičko rezonovanje o njima. U ovom kontekstu, iskazi postaju dobro oblikovane formule nekog formalnog jezika. Teorija se sastoji od nekih osnovnih iskaza koji se nazivaju aksiomi, i nekih deducirajućih pravila (ponekad uključenih u aksiome). Teoreme teorije su tvrdnje koje se mogu izvesti iz aksioma korišćenjem pravila dedukcije.[v] Ova formalizacija je dovela do teorije dokaza, koja omogućava dokazivanje opštih teorema o teoremama i dokazima. Konkretno, Gedelove teoreme o nekompletnosti pokazuju da svaka konzistentna teorija koja sadrži prirodne brojeve ima istinite iskaze o prirodnim brojevima koji nisu teoreme teorije (to jest, ne mogu se dokazati unutar teorije).

Kako su aksiome često apstrakcije svojstava fizičkog sveta, teoreme se mogu smatrati izrazom neke istine, ali za razliku od pojma naučnog zakona, koji je eksperimentalan, opravdanje istinitosti teoreme je čisto deduktivno.[4][5]

Epistemološka razmatranja uredi

Mnoge matematičke teoreme su uslovne izjave, čiji dokazi izvode zaključke iz uslova poznatih kao hipoteze ili premise. U svetlu tumačenja dokaza kao opravdanja istine, zaključak se često posmatra kao neophodna posledica hipoteza. Naime, zaključak je tačan u slučaju da su hipoteze tačne — bez ikakvih daljih pretpostavki. Međutim, kondicional se takođe može različito tumačiti u određenim deduktivnim sistemima, u zavisnosti od značenja koja se pripisuju pravilima izvođenja i uslovnom simbolu (npr. neklasična logika).

Pošto teoreme leže u srži matematike, one su takođe centralne za njenu estetiku. Teoreme se često opisuju kao „trivijalne“, ili „teške“, ili „duboke“, ili čak „lepe“. Ovi subjektivni sudovi se razlikuju ne samo od osobe do osobe, već i od vremena i kulture: na primer, kako se dobije dokaz, pojednostavljen ili bolje shvaćen, teorema koja je nekada bila teška može postati trivijalna.[6] S druge strane, duboka teorema se može izreći jednostavno, ali njen dokaz može uključivati iznenađujuće i suptilne veze između različitih oblasti matematike. Poslednja Fermaova teorema je posebno poznat primer takve teoreme.[7]

Neformalni prikaz teorema uredi

Logički, mnoge teoreme su u obliku indikativnog kondicionala: Ako je A, onda je B. Takva teorema ne ističe B — samo da je B neophodna posledica A. U ovom slučaju, A se naziva hipoteza teoreme („hipoteza” ovde znači nešto sasvim drugačije od pretpostavke), i B je zaključak teoreme. Oni zajedno (bez dokaza) se nazivaju propozicijom ili iskazom teoreme (npr. „Ako je A, onda je B“ propozicija). Alternativno, A i B se takođe mogu nazvati prethodnim i posledičnim, respektivno.[8] Teorema „Ako je n paran prirodan broj, onda je n/2 prirodan broj“ je tipičan primer u kome je hipoteza „n je paran prirodan broj“, a zaključak je „n/2 je takođe prirodan broj broj".

 
Planarna mapa sa pet boja takvih da se ne dodiruju dva regiona iste boje. Ona se zapravo može obojiti na ovaj način sa samo četiri boje. Teorema o četiri boje tvrdi da su takva bojenja moguća za bilo koju planarnu mapu, ali svaki poznati dokaz uključuje računarsko pretraživanje koje je predugo da bi se proverilo ručno.

Neke teoreme su „trivijalne“, u smislu da slede iz definicija, aksioma i drugih teorema na očigledan način i ne sadrže nikakve iznenađujuće uvide. Neki se, s druge strane, mogu nazvati „dubokim“, jer njihovi dokazi mogu biti dugi i teški, uključivati oblasti matematike koje se površno razlikuju od izjave same teoreme, ili pokazuju iznenađujuće veze između različitih oblasti matematike.[9] Teorema može biti jednostavna za navođenje, a ipak duboka. Odličan primer je poslednja Fermaova teorema,[7] i postoji mnogo drugih primera jednostavnih, ali dubokih teorema u teoriji brojeva i kombinatorici, između ostalih oblasti.

Druge teoreme imaju poznat dokaz koji se ne može lako zapisati. Najistaknutiji primeri su teorema o četiri boje i Keplerova pretpostavka. Poznato je da su obe ove teoreme tačne samo tako što se mogu svesti na računarsku pretragu koja se zatim verifikuje računarskim programom. U početku, mnogi matematičari nisu prihvatili ovaj oblik dokaza, ali je vremenom postao široko prihvaćen. Matematičar Doron Zeilberger je čak otišao toliko daleko da tvrdi da su ovo možda jedini netrivijalni rezultati koje su matematičari ikada dokazali.[10] Mnoge matematičke teoreme se mogu svesti na jednostavno izračunavanje, uključujući polinomske identitete, trigonometrijske identitete[11] i hipergeometrijske identitete.[12]

Poznate matematičke teoreme uredi

Glavni članak: Spisak matematičkih teorema

Pitagorina teorema, Talesova teorema, poslednja Fermaova teorema, Centralna granična teorema...

Teoreme u tehničkim naukama uredi

U osnovi su takođe matematičke samo se izvode od osnovnih fizičkih zakona odnosno imaju konkretno fizičko tumačenje.

Nikvistova teorema o odabiranju, Šenonova teorema, Gausova teorema, teorema o toploti (3. zakon termodinamike)...

Teoreme u drugim naukama uredi

Postoje i u ekonomiji, hemiji itd.

Napomene uredi

  1. ^ Uopšteno govoreći, razlika je slaba, pošto se standardni način da se dokaže da je izjava dokaziva sastoji od njenog dokazivanja. Međutim, u matematičkoj logici se često razmatra skup svih teorema neke teorije, iako se ne mogu dokazati pojedinačno.
  2. ^ Činjenica da Vajlsov dokaz uključuje Grotendikove univerzume ne znači da se dokaz ne može poboljšati da bi se ovo izbeglo, i mnogi stručnjaci misle da je to moguće. Ipak, prilično je zapanjujuće da dokaz teoreme koja je navedena u vidu elementarne aritmetike uključuje postojanje Grotendikovih univerzuma, koji su veoma veliki beskonačni skupovi.
  3. ^ Teorija se često poistovećuje sa skupom njenih teorema. Ovo se ovde izbegava radi jasnoće, a takođe i zbog toga da ne bi zavilo od teorije skupova.

Reference uredi

  1. ^ Elisha Scott Loomis. „The Pythagorean proposition: its demonstrations analyzed and classified, and bibliography of sources for data of the four kinds of proofs” (PDF). Education Resources Information Center. Institute of Education Sciences (IES) of the U.S. Department of Education. Pristupljeno 2010-09-26.  Originally published in 1940 and reprinted in 1968 by National Council of Teachers of Mathematics.
  2. ^ „Definition of THEOREM”. www.merriam-webster.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2019-11-02. 
  3. ^ „Theorem | Definition of Theorem by Lexico”. Lexico Dictionaries | English (na jeziku: engleski). Arhivirano iz originala 02. 11. 2019. g. Pristupljeno 2019-11-02. 
  4. ^ Markie, Peter (2017), „Rationalism vs. Empiricism”, Ur.: Zalta, Edward N., The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2017 izd.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, Pristupljeno 2019-11-02 
  5. ^ However, both theorems and scientific law are the result of investigations. See Heath 1897 Introduction, The terminology of Archimedes, p. clxxxii:"theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to investigate"
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Theorem”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2019-11-02. 
  7. ^ a b Darmon, Henri; Diamond, Fred; Taylor, Richard (2007-09-09). „Fermat's Last Theorem” (PDF). McGill University – Department of Mathematics and Statistics. Pristupljeno 2019-11-01. 
  8. ^ „Implication”. intrologic.stanford.edu. Arhivirano iz originala 19. 06. 2021. g. Pristupljeno 2019-11-02. 
  9. ^ Weisstein, Eric W. „Deep Theorem”. MathWorld. 
  10. ^ Doron Zeilberger. „Opinion 51”. 
  11. ^ Such as the derivation of the formula for   from the addition formulas of sine and cosine.
  12. ^ Petkovsek et al. 1996.

Literatura uredi

  • Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard (2007). Computability and Logic (5th izd.). Cambridge University Press. 
  • Chiswell, Ian; Hodges, Wilfred (2007). Mathematical Logic. Oxford University Press. 
  • Enderton, Herbert (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2nd izd.). Harcourt Academic Press. 
  • Heath, Sir Thomas Little (1897). The works of Archimedes. Dover. Pristupljeno 2009-11-15. 
  • Hedman, Shawn (2004). A First Course in Logic. Oxford University Press. 
  • Hinman, Peter (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. Wellesley, MA: A K Peters. 
  • Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth. Hyperion, New York. ISBN 1-85702-829-5. 
  • Hodges, Wilfrid (1993). Model Theory. Cambridge University Press. 
  • Hunter, Geoffrey (1996) [1973]. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press. ISBN 0-520-02356-0. 
  • Johnstone, P. T. (1987). Notes on Logic and Set Theory. Cambridge University Press. 
  • Mates, Benson (1972). Elementary Logic . Oxford University Press. ISBN 0-19-501491-X. 
  • Monk, J. Donald (1976). Mathematical Logic. Springer-Verlag. 
  • Petkovsek, Marko; Wilf, Herbert; Zeilberger, Doron (1996). A = B. A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6. Arhivirano iz originala 15. 04. 2021. g. Pristupljeno 20. 12. 2021. 
  • Rautenberg, Wolfgang (2010). A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd izd.). Springer. 
  • van Dalen, Dirk (1994). Logic and Structure (3rd izd.). Springer-Verlag. 
  • Mendelson, Elliot (1987). Introduction to mathematical logic. Belmont, California: Wadsworth & Brooks. ISBN 0-534-06624-0
  • Davidson Reynolds, Paul (1971). A primer in theory construction. Boston: Allyn and Bacon.
  • Guillaume, Astrid (2015). « Intertheoricity: Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories. Part II: Semiotics of Transferogenesis », in Human and Social studies, Vol.4, N°2 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp. 59–77.
  • Guillaume, Astrid (2015). « The Intertheoricity : Plasticity, Elasticity and Hybridity of Theories », in Human and Social studies, Vol.4, N°1 (2015), éd.Walter de Gruyter, Boston, Berlin, pp. 13–29.
  • Hawking, Stephen (1996). A Brief History of Time (Updated and expanded ed.). New York: Bantam Books, p. 15.
  • James, Paul (2006). Globalism, Nationalism, Tribalism: Bringing Theory Back In. London, England: Sage Publications. 
  • Matson, Ronald Allen, „Comparing scientific laws and theories”, Biology, Kennesaw State University, Arhivirano iz originala 09. 07. 2017. g., Pristupljeno 20. 12. 2021 .
  • Popper, Karl (1963), Conjectures and Refutations, Routledge and Kegan Paul, London, UK, pp. 33–39. Reprinted in Theodore Schick (ed., 2000), Readings in the Philosophy of Science, Mayfield Publishing Company, Mountain View, California, USA, pp. 9–13.
  • Zima, Peter V. (2007). "What is theory? Cultural theory as discourse and dialogue". London: Continuum (translated from: Was ist Theorie? Theoriebegriff und Dialogische Theorie in der Kultur- und Sozialwissenschaften. Tübingen: A. Franke Verlag, 2004).

Spoljašnje veze uredi

 
Teorema na Vikimedijinoj ostavi.
Preuzeto iz „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Теорема&oldid=27550114”