Funkcija (matematika)

Funkcija ili preslikavanje je pravilo pridruživanja jednog elementa iz skupa koji se tada naziva domen funkcije,[1] drugom elementu iz skupa - kodomen funkcije, koji se još naziva i kontradomen funkcije, skup kopija, skup slika. Domen funkcije se često označava sa , a kodomen sa [2]

Funkcija koja preslikava obojene oblike u njihovu boju.
Grafik primera funkcije,

Elementi skupa nazivaju se argumenti, nezavisno promenljive, originali preslikavanja, likovi, ili elementi domena. Skup naziva se kodomen (kontradomen) funkcije, skup kopija, slika, itd. Često se domen funkcije f označava sa , a kodomen ponekad

Za zapisivanje funkcija obično se koriste neke od sledećih oznaka: , ili . Opseg, raspon, područje definicije funkcije, odnosno domen funkcije predstavlja skup vrednosti za koje funkcija dostiže vrednosti .[3]

Osnovna karakteristika funkcije je da za jednu ulaznu vrednost dobija najviše jedna izlazna vrednost.

Definicija uredi

Funkcija je jedan od osnovnih pojmova matematike. Pojavljuje se u većini oblasti matematike, u zavisnosti od toga šta predstavljaju domen i kodomen. Funkcija ili preslikavanje je svako pridruživanje elemenata jednog skupa, elementima drugog skupa pri čemu se svaki element prvog skupa preslikava u tačno jedan element drugog skupa.[4]

Analitička definicija uredi

Ako dve promenljive   i   stoje u takvoj vezi da se menjanjem vrednosti jedne od njih, npr.   menja i vrednost druge promenljive -  , onda se promenljiva   naziva funkcijom promenljive  .

Funkcija može imati više promenljivih.

Definicije iz teorije skupova uredi

 
Funkcija, odnosno relacija   Skup A je skup prvih elemenata uređenih parova, na grafu to je polazni skup strelice i naziva se domen. Skup B naziva se kodomen funkcije.[5][6]

Skup se u matematici uzima za osnovni pojam. Dekartov proizvod skupova je skup uređenih parova. Uređeni par elemenata čine bilo kakva dva elementa za koje je važan poredak. Relacija je neprazan podskup Dekartovog proizvoda skupova, a funkcija je jedna vrsta relacije.

Definicija 1
Neka su   i   neprazni skupovi. Tada se binarna relacija   zove funkcija ili preslikavanje iz   u  , ako važi:
 

odnosno ako za svaki element iz skupa  , postoji tačno jedan element iz skupa   tako da je element iz   slika elementa iz  .

Definicija 2 (ekvivalentna prethodnoj)
binarna relacija   iz   u   je funkcija ako je
 

tj. ako su originali jednaki, i slike moraju biti jednake.

Funkcija u topologiji uredi

Funkcija ili preslikavanje u topološkom smislu je pravilo pridruživanja jednog elementa iz topološkog prostora   koji se tada naziva domen funkcije, drugom elementu iz topološkog prostora   - kodomen funkcije.

Homomorfizam je preslikavanje između dve algebarske strukture istog tipa, koje čuva njihovu formu.

Vrste homomorfizama:

Neprekidnost uredi

Neprekidna funkcija iz jednog topološkog prostora u drugi je funkcija čija je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena. Neprekidna preslikavanja su morfizmi topološkog prostora. Intuitivno, neprekidna funkcija je ona funkcija, koja za dovoljno male promene vrednosti argumenta ima proizvoljno male promene vrednosti funkcije.

Vrste preslikavanja uredi

Surjektivno preslikavanje uredi

Definicija
Funkcija   zove se surjekcija, ili "na"-preslikavanje, ako je  

što se može zapisati i kao:

 

Odnosno, funkcija je surjekcija ako i samo ako su svi elementi kodomena nečije slike. Surjekcija po definiciji dozvoljava „duple kopije“, tj. da se više elemenata iz domena preslikavaju u isti element kodomena.

Injektivno preslikavanje uredi

Definicija
Funkcija   zove se injekcija, ili "1-1"-preslikavanje, ako važi:
 

Dakle, ista kopija ne može biti rezultat kopiranja različitih originala. Injekcija po definiciji dozvoljava da u skupu kopija postoje elementi koji uopšte nisu rezultat preslikavanja.

Bijektivno preslikavanje uredi

Definicija
Funkcija koja je surjekcija i injekcija zove se bijekcija.

Bijekciju nazivamo i obostrano jednoznačno preslikavanje.

Funkcija realne promenljive uredi

Kako u matematičkoj analizi, tako i u još pojedinim oblastima matematike, a možda i u celoj matematici, funkcija koja se možda i najčešće koristi je tzv. funkcija realne promenljive.

Pod funkcijom realne promenljive, misli se na funkciju   gde je   i   Drugim rečima, funkcija realne promenljive je svaka funkcija čiji je domen podskup skupa realnih brojeva   ili ceo skup  , a kodomen joj je  .

Sledeća tabela sadrži nekoliko posebno važnih tipova funkcija realne vrednosti:

Linearna funkcija Kvadratna funkcija
 
Linearna funkcija
 
Kvadratna funkcija.
f(x) = ax + b. f(x) = ax2 + bx + c.
Diskontinuirana funkcija Trigonometrijske funkcije
 
Signum funkcija nije neprekidna, pošto „skače“ u 0.
 
Sinusne i kosinusne funkcije.
Grubo rečeno, neprekidna funkcija je ona čiji grafik se može nacrtati bez podizanja olovke. f(x) = sin(x) (crveno), f(x) = cos(x) (plavo)

Parnost funkcije uredi

 
Funkcija   je parna funkcija.
 
Funkcija   je neparna funkcija.
Definicija
Za skup   kažemo da je simetričan, ako za svako   i  .

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo parnom, ako za je svako  . Svaka parna funkcija je simetrična u odnosu na y osu.

Funkciju definisanu na simetričnom skupu nazivamo neparnom, ako za je svako  . Svaka neparna funkcija je simetrična u odnosu na koordinatni početak.

Većina funkcija nije ni parna, ni neparna, ali se svaka funkcija definisana na simetričnom podskupu može predstaviti kao zbir parne i neparne funkcije.

Periodičnost funkcije uredi

 
Ilustracija periodične funkcije sa periodom  
Definicija
Za funkciju realne promenljive   kažemo da je periodična sa periodom  , ako postoji   takvo da važi:
 

Najmanji takav broj   (ako postoji), naziva se osnovnim periodom funkcije  .

Interesantna periodična funkcija je, recimo: Dirihleova funkcija   definisana kao:

 

koja je periodična, ali nema najmanji period.

Monotonost funkcije uredi

Definicija
Monotonost funkcije označava svojstvo onih funkcija koje zadovoljavaju bilo koji od sledećih uslova:
  • rastuća funkcija
 
  • strogo rastuća funkcija
 
  • opadajuća funkcija
 
  • strogo opadajuća funkcija
 

Za funkciju koja zadovoljava ovo svojstvo (tj. bilo koje od četiri navedena svojstva) kažemo da je monotona na kodomenu. Specijalno, za funkciju koja zadovoljava drugo ili četvrto svojstvo od četiri navedena, kažemo da je strogo monotona na kodomenu.

Inverzna funkcija uredi

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označena sa ƒ−1, funkcija u suprotnom smeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne poseduje svoju inverznu funkciju; one koje je imaju nazivaju se inverzibilnim.

Kao primer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Farenhajte, funkcija koja konvertuje stepene Farenhajta u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.

 

Ispitivanje toka funkcije uredi

Ispitivanje toka funkcije   se sastoji od određivanja niza svojstava.

Područje definicije uredi

Za određivanje područja definicije funkcije   potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost uredi

Parnost funkcije   proverava se pomoću definicije:

Funkcija   je parna ako je   za svaki  , a neparna ako je  ) za svaki  . Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinatni početak  .

Primer

 

je parna za   paran, a neparna za   neparan, pa je:

 .

Funkcija   je parna: ako je  , tada je   pa vredi

 

Za   je   pa vredi

 

Periodičnost uredi

Periodičnost funkcije proverava se pomoću definicije

Funkcija   je periodična ako postoji broj   takav da za svaki   vredi
 

Tada mora vredeti  . Najmanji takav pozitivni broj   osnovni period ili period funkcije  .

Primeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodična ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije uredi

Nula funkcije određuju se rešavanjem jednačine  

Asimptote funkcije uredi

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i Lopitalovim pravilom, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli  ) kada tačka na grafiku odmiče u beskonačnost.

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   u tački   s leve strane ako je   ili  .

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   u tački   s desne strane ako je

  ili

 .

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primer
 
Koordinatne ose kao asimptote funkcije  

Prava   je vertikalna asimptota funkcije   s obe strane.

Prava   je vertikalna asimptota funkcije  ,   i   s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na levoj strani ako je  . Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na desnoj strani ako je  .

Primer

Prava   je horizontalna asimptota funkcije   na obe strane, kao i   horizontalna asimptota funkcija   i   na levoj strani.

Ako je

 

pri čemu je

  tada je prava   kosa asimptota funkcije   sa leve strane.

Kosu asimptotu funkcije   sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je  . Prema definiciji asimptote   kada  . Kako je   konstanta, zaključujemo da  .

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

  je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

 .

  pa je

 .

Pri tome treba voditi računa o sledećem:

  1. traženje horizontalnih i kosih asimptota limesa kada  
  2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosledu,   uvek treba računati posebno
  3. treba obratiti pažnju na slučajeve parnih korena kada  ,
Primer

 .

Ekstremi funkcije uredi

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je proveriti nužne i dovoljne uslove ekstrema.

Provera nužnih uslova vrši se po teoremu

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Ako funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  , tada je   kritična tačka funkcije  .

Potrebno je naći stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija   neprekidna u tački  . Tačka   je stacionarna tačka funkcije   ako je  . Tačka   je kritična tačka funkcije  , ako je   stacionarna tačka ili ako   nije diferencijabilna u tački  .

Potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda   i rešiti jednačinu  .

Provera dovoljnih uslova može se vršiti na tri načina:

  • pomoću promene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme: Ako prvi izvod   menja predznak u kritičnoj tački  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  . Pri tome vredi sledeće: ako   menja predznak sa   na  , tada je   lokalni minimum, a ako   menja predznak sa   na  , tada je   lokalni maksimum.
  • pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme: Neka je u stacionarnoj tački   funkcija   dva puta diferencijabilna. Ako je  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački  . Pri tome vredi sljedeće: ako je  , tada je   lokalni minimum, a ako je  , tada je   lokalni maksimum.
  • pomoću viših izvoda na osnovu teoreme: Neka funkcija   ima u nekoj   - okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda  , pri čemu je  . Neka je   Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  . Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački   i to minimum za   i maksimum za  .

Intervali monotonosti uredi

Nakon nalaženja prvog izvoda   funkcije   intervali monotonosti se određuju po predznaku od   na osnovu teoreme: Neka je funkcija   diferencijabilna na intervalu  . Tada vredi

  • funkcija   je rastuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  • Funkcija   je opadajuća na intervalu   ako i samo ako je   za svaki  
  • Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo rastuća na intervalu  
  • Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo opadajuća na intervalu  .

Konkavnost i konveksnost funkcije uredi

Potrebno je odrediti drugi izvod  , a zatim intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija   dva puta diferencijabilna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konveksna na intervalu  . Ako je   za svaki  , tada je funkcija   strogo konkavna na intervalu  .

Tačke infleksije uredi

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod   menja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta diferencijabilna na nekoj   okolini tačke  , osim možda u tački  . Ako   menja predznak u tački  , tada funkcija   ima infleksiju u tački  .

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija   ima u nekoj   okolini tačke   neprekidne izvode do uključivo reda  , pri čemu je  . Neka je
 

Ako je   neparan, tada funkcija   ima infleksiju u tački  . Ako je   paran i ako je uz to još i  , tada funkcija   ima lokalni ekstrem u tački   i to minimum za   i maksimum za  .

U tom slučaju potrebno je prvo naći tačke u kojima je drugi izvod   jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija   ima infleksiju u tački   i ako   postoji, tada je  .

Graf funkcije uredi

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.[7]

Ostale osobine uredi

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primene.

Ovo je delimičan spisak takvih funkcija:

Vidi još uredi

Reference uredi

  1. ^ Halmos 1970, str. 30.
  2. ^ MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra (First izd.). New York: Macmillan. str. 1–13. 
  3. ^ Hamilton, A. G. Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics. Cambridge University Press. str. 83. ISBN 0-521-24509-5. 
  4. ^ Halmos, Paul R. (1958). Finite-Dimensional Vector Spaces (PDF). New York: Van Nostrand Company. str. 21—25. ISBN 0-387-90093-4. 
  5. ^ Apostol, Tom (1967). Calculus vol 1. John Wiley. str. 53. ISBN 0-471-00005-1. 
  6. ^ Heins, Maurice (1968). Complex function theory. Academic Press. str. 4. 
  7. ^ Hartley Rogers, Jr (1987). Theory of Recursive Functions and Effective Computation. MIT Press. str. 1–2. ISBN 0-262-68052-1. 

Literatura uredi

Spoljašnje veze uredi