Дистрибутивност

Дистрибутивност је алгебарска особина понашања оператора сабирања и множења над алгебарском структуром $(K,\oplus ,\cdot )$. Конкретно када се производ два елемента скупа K може представити ако збир производа једног од њих са још два елемента који у збиру дају другог, каже се да закон дистрибуције важи за дату алгебарску структуру. Множење може бити лево и десно те отуда два различита услова:

$a\cdot (b\oplus c)=a\cdot b\oplus a\cdot c$ (дистрибутивност слева)

$(b\oplus c)\cdot a=b\cdot a\oplus c\cdot a$ (дистрибутивност здесна)

Ако су задовољени само први или само други услов, каже се да се „лево односно десно множење лепо понаша према сабирању“. Уколико су оба испуњена, каже се да се „операција множења лепо понаша према сабирању“ тј. да је дистрибутивна.

Дефиниција

За дати скуп $S$ и два бинарна оператора $\,*\,$ и $\,+\,$ on $S,$

операција $\,*\,$ је лево дистрибутивна преко (или у односу на) $\,+\,$ ако је дат било који елемент $x,y,{\text{ и }}z$ из $S,$

$$x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$$

операција $\,*\,$ је десно дистрибутивна преко $\,+\,$ ако је дат било који елемент $x,y,{\text{ и }}z$ из $S,$

$$(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$$

и операција $\,*\,$ је дистрибутивна преко $\,+\,$ ако је лево- и десно-дистрибутивна.

Када је $\,*\,$ комутативно, три горња услова су логички еквивалентна.

Значење

Оператори који се користе за примере у овом одељку су они уобичајеног сабирања $\,+\,$ и множења $\,\cdot .\,$

Ако операција означена са $\cdot$ није комутативна, постоји разлика између леве дистрибутивности и десне дистрибутивности:

$$a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (лева-дистрибутивност) }}$$

$$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (десна-дистрибутивност) }}.$$

У оба случаја, дистрибутивно својство се може речима описати као:

Да би се збир (или разлика) помножио са фактором, сваки сабирак (или умањеник и умањилац) се множи са овим фактором и добијени производи се додају (или одузимају).

Ако је операција ван заграда (у овом случају множење) комутативна, онда лева дистрибутивност имплицира десну дистрибутивност и обрнуто, и говори се једноставно о дистрибутивности.

Један пример операције која је „само“ десно-дистрибутивна је дељење, које није комутативно:

$$(a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.$$

У овом случају, лева дистрибуција се не примењује:

$$a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c$$

Дистрибутивни закони су међу аксиомима за прстенове (попут прстена целих бројева) и поља (попут поља рационалних бројева). Овде је множење дистрибутивно над сабирањем, али сабирање није дистрибутивно над множењем. Примери структура са две операције при чему је свака дистрибутивна над другом су Булове алгебре као што је алгебра скупова или алгебра преклапања.

Примери

Реални бројеви

У следећим примерима је илустрована употреба дистрибутивног закона на скупу реалних бројева $\mathbb {R}$. Када се множење помиње у елементарној математици, обично се мисли на ову врсту множења. Са тачке гледишта алгебре, реални бројеви чине поље, које обезбеђује валидност дистрибутивног закона.

Први пример (умно и писмено множење)

Током менталне аритметике, дистрибутивност се често користи несвесно:

$$6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96$$

Дакле, да би се ментално израчунало $6\cdot 16$, прво се помножи $6\cdot 10$ и $6\cdot 6$ и додају се интермедијарни резултати. Писано множење се такође заснива на дистрибутивном закону.

Други пример (са променљивама)

$$3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}$$

Трећи пример (са два збира)

$${\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}$$

Овде је дистрибутивни закон примењен два пута, и није битно која се заграда прва помножи.

Четврти пример

Овде се дистрибутивни закон примењује обрнуто у односу на претходне примере. Размотрите

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.$$

Пошто се фактор $6a^{2}b$ јавља у свим сабирцима, може се раздвојити. То јест, због дистрибутивног закона се добија

$$12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).$$

Матрице

За матрично множење важи дистрибутивни закон. Прецизније,

$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$

за све $l\times m$ матрице $A,B$ и $m\times n$ матрице $C,$ као и

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

за све $l\times m$ матрице $A$ и $m\times n$ матрице $B,C.$ Пошто комутативно својство не важи за множење матрице, други закон не следи из првог закона. У овом случају, то су два различита закона.

Други примери

• За разлику од тога, множење редних бројева је само лево-дистрибутивно, а не десно.
• Векторски производ је лево- и десно-дистрибутиван над сабирањем вектора, иако није комутативно.
• Унија скупова је дистрибутивна над пресеком, а пресек је дистрибутивна над унијом.
• Логичка дисјункција („или“) је дистрибутивна у односу на логичку коњункцију („и“), и обрнуто.
• За реалне бројеве (и за било који потпуно уређен скуп), максимална операција је дистрибутивна у односу на минималну операцију, и обрнуто:
  $$\max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).$$
• За целе бројеве, највећи заједнички делилац је дистрибутивни преко најмањег заједничког садржаоца, и обрнуто:
  $$\gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).$$
• За реалне бројеве, сабирање се дистрибуира на максималну операцију, а такође и на минималну операцију:
  $$a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ and }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).$$
• За биномно множење, дистрибуција се понекад назива FOIL методом (први појмови $ac,$ спољашњи $ad,$ унутрашњи $bc,$ и последњи $bd$), као што су: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$
• У свим полупрстеновима, укључујући комплексне бројеве, кватернионе, полиноме и матрице, множење се дистрибуира преко сабирања: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• У свим алгебрама над пољем, укључујући октонионе и друге неасоцијативне алгебре, множење се дистрибуира преко сабирања.

Пропозициона логика

Правило замене

У стандардној истинито-функционалној пропозиционалној логици, дистрибуција у логичким доказима користи два важећа правила замене да прошири појединачна појављивања одређених логичких конекција, унутар неке формуле, у засебне примене те конекције преко подформула дате формуле. Правила су

$$(P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ and }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))$$

где је „$\Leftrightarrow$”, такође написано $\,\equiv ,\,$ је металогички симбол који представља „може бити замењен у доказу са” или „логички је еквивалентно”.

Истиносно функционални спојеви

Дистрибутивност је својство неких логичких спојева истинито-функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је дистрибутивност својство одређених везива. Следе истинито-функционалне таутологије.

$${\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ конјукције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ дисјункцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ конјукције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ дисјункцијом }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ над }}&&{\text{ еквиваленцијом }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ импликације }}&&{\text{ над }}&&{\text{ конјукцијом }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Дистрибутивност }}&&{\text{ дисјункције }}&&{\text{ над }}&&{\text{ еквиваленцијом }}\\\end{alignedat}}$$

Двострука дистрибуција

$${\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}$$

Види још

• Асоцијативност
• Антикомутативност
• Комутативност

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th изд.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e изд.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Lumpkin, B. (1997). „The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter” (PDF) (Unpublished manuscript). Архивирано из оригинала (PDF) 13. 7. 2007. г. 
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Commutativity”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
• Weisstein, Eric W. „Commute”. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• „Yark”.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „History of real numbers”. MacTutor. Приступљено 8. 8. 2007. 
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”. Приступљено 22. 11. 2008. 
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „biography of François Servois”. MacTutor. Архивирано из оригинала 02. 09. 2009. г. Приступљено 8. 8. 2007. 
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Nagy, Attila (31. 5. 2001). Special Classes of Semigroups. Springer. ISBN 978-0-7923-6890-8. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 
• Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN 0-387-90122-1 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd изд.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7, Zbl 0945.20036 
• Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ур., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, MR 1475463, Zbl 0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097 
• Enderton, Herbert (2001), A Mathematical Introduction to Logic (2nd изд.), Boston, MA: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3 
• Gamut, L.T.F (1991), „Chapter 2”, Logic, Language and Meaning, 1, University of Chicago Press, стр. 54—64, OCLC 21372380 
• Rautenberg, W. (2010), A Concise Introduction to Mathematical Logic (3rd изд.), New York: Springer Science+Business Media, ISBN 978-1-4419-1220-6, doi:10.1007/978-1-4419-1221-3 .
• Humberstone, Lloyd (2011). The Connectives. MIT Press. ISBN 978-0-262-01654-4. 
• Albert, A. Adrian (1948b). „On right alternative algebras”. Annals of Mathematics. 50 (2): 318—328. JSTOR 1969457. doi:10.2307/1969457. 
• Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. „Chapter 86: Nonassociative Algebras” (PDF). Ур.: Hogben, Leslie. Handbook of Linear Algebra (2nd изд.). CRC Press. ISBN 978-1-498-78560-0. 
• Herstein, I. N., ур. (2011) [1965]. Some Aspects of Ring Theory: Lectures given at a Summer School of the Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.) held in Varenna (Como), Italy, August 23-31, 1965. C.I.M.E. Summer Schools. 37 (reprint изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-3-6421-1036-8. 
• Jacobson, Nathan (1968). Structure and representations of Jordan algebras. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-821-84640-7. MR 0251099. 
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001. 
• Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian, ур. The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Lecture Notes in Mathematics. 1710. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513. 
• Kokoris, Louis A. (1955). „Power-associative rings of characteristic two”. Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 6 (5): 705—710. JSTOR 2032920. doi:10.2307/2032920 . 
• Kurosh, A.G. (1947). „Non-associative algebras and free products of algebras”. Mat. Sbornik. 20 (62). MR 20986. Zbl 0041.16803. 
• McCrimmon, Kevin (2004). A taste of Jordan algebras. Universitext. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924. Zbl 1044.17001. doi:10.1007/b97489. Errata. 
• Mikheev, I.M. (1976). „Right nilpotency in right alternative rings”. Siberian Mathematical Journal. 17 (1): 178—180. S2CID 121887008. doi:10.1007/BF00969304. 
• Okubo, Susumu (2005) [1995]. Introduction to Octonion and Other Non-Associative Algebras in Physics. Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001. doi:10.1017/CBO9780511524479. 
• Rosenfeld, Boris (1997). Geometry of Lie groups. Mathematics and its Applications. 393. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002. 
• Rowen, Louis Halle (2008). Graduate Algebra: Noncommutative View. Graduate studies in mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8408-9. 
• Schafer, Richard D. (1995) [1966]. An Introduction to Nonassociative Algebras. Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601. 
• Zhevlakov, Konstantin A.; Slin'ko, Arkadii M.; Shestakov, Ivan P.; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Rings that are nearly associative. Превод: Smith, Harry F. ISBN 0-12-779850-1. 

Спољашње везе

• A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Boolean algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
• McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
• "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.