Збир углова у троуглу

Збир углова у троуглу, заједно са појмовима пети постулат, тј. схватањем паралелности, затим угао и однос обима и пречника круга је једна од најбезазленијих тема из геометрије, а са друге стране то је једно од најкрупнијих места целокупног развоја математике.

Елементарна геометрија

Теорема

Збир унутрашњих углова у троуглу је 180°.

Доказ

Дат је троугао $ABC$. Продужимо страницу $AB$, тј. $c$ преко тачке $B$, тако да је $c-B-c'$. Повучемо паралелу $b'$ са страницом $AC$, тј. $b$ у тачки $B$. Угао у темену А једнак је углу у темену B, тј. углови са паралелним крацима су једнаки, па важе једнакости

$\angle cAb=\angle c'Bb'=\alpha ,\angle bCa=\angle b'Ba=\gamma$.

Отуда је збир углова алфа, бета и гама једнак испруженом $\angle c'Bc$, тј. 180°.

Последице

Став 1

Спољни угао троугла (у темену B на слици $\alpha +\gamma$) једнак је збиру два унутрашња њему не сусједна угла.

Став 2

Збир спољних углова троугла једнак је 360°, јер је збир три спољна угла троугла:

$2\alpha +2\beta +2\gamma =2\times 180^{o}$.

Став 3

Збир унутрашњих углова у четвороуглу је 360°.

Доказ

Подјелимо четвороуглао $ABCD$ дијагоналом $AC$ на два троугла $ABC$ и $CDA$. Угао $\alpha$ је подељен на два (неједнака) угла $\alpha _{1}$ и $\alpha _{2}$, и слично тако угао $\gamma$. Отуда $\alpha +\beta +\gamma +\delta =(\alpha _{1}+\beta +\gamma _{1})+(\alpha _{2}+\delta +\gamma _{2})=180^{o}+180^{o}=360^{o}$

Став 4

Збир спољних углова четвороугла је 360°.

Доказ

Продужетак странице са сусједном чини један спољни угао, који је са суседним унутрашњим суплементан. Четири таква продужетка, четири испружена угла (720°), чине збир унутрашњих (360°) и збир спољних (дакле такође 360°) углова четвороугла.

Став 5

Углови са окомитим крацима су једнаки или су суплементни.

Доказ

Четвороугао на слици горе има збир углова 360°. Према томе је $\alpha +\beta =180^{o}$.

Став 6

Однос обима и пречника круга је π.

Еуклид

У Еуклидовим Елементима, књига I наводи се следећа теорема

Теорема 32

У троуглу, ако се једна страница продужи, тада је спољашњи угао једнак збиру два унутрашња а супротна угла, а такође збир сва три унутрашња угла троугла је једнак два права угла.

Доказ ове теореме је посредно зависан од V постулата, што за последицу има да у нееуклидским геометријама важи другачија законитост. Збир углова у троуглу, у зависности од врсте закривљења простора, може бити већи или мањи од два права угла.

Хилберт

Тешкоће око Еуклидових постулата и/или аксиома, бар што се тиче елементарних геометрија, веома успешно је 1899. године разрешио немачки математичар Давид Хилберт (1862—1943), који је иначе дао важан допринос у неколико грана математике. Аксиоме Еуклидске геометрије поделио је у пет група:

1. осам аксиома везе,
2. четири аксиоме распореда,
3. пет аксиома подударности,
4. једна аксиома паралелних,
5. две аксиоме непрекидности.

То су оне нама познате аксиоме из средњошколске, елементарне геометрије. У четвртој Хилбертовој групи аксиома, заправо је једна једина, тзв.

Еуклидова аксиома

Нека је a произвољна права и А тачка ван а: тада постоји у равни, одређеној правом а и тачком А, највише једна права која пролази кроз А и не пресеца А.

Када првим трима групама Хилбертових аксиома додамо ову аксиому паралелних следе Хилбертови ставови:

Став 30

Ако су две паралелне праве пресечене трећом правом онда су сагласни углови и наизменични углови подударни, и обрнуто: из подударности сагласних или наизменичних углова следује да су праве паралелне.

Став 31

Углови троугла чине заједно два права угла (180°).

Хиперболичка геометрија

Пре Хилберта, Еуклидска геометрија је ушла у своју највећу кризу 1829. године, када је гласовити руски математичар Николај Лобачевски објавио, како је сам написао, свој први покушај о основама геометрије у „Казанском Веснику". Затим је Лобачевски објавио своје даље радове у појединим деловима у "Ученим записима казанског Универзитета" за год. 1836, 1837, 1838 под насловом: "Нови основи геометрије са потпуном теоријом паралелних".

Еуклидов аксиом о паралелности правих, тзв. Пети Еуклидов постулат, дуго је мучио математичаре. За разлику од свих осталих Еуклидових постулата, који су били једноставни, Пети је више личио на теорему. Два миленијума од настанка Еуклидове геометрије математичари су настојали извести доказ тог Петог Е. постулата из претходних, али увек безуспешно. Исто је покушао и Лобачевски. Генијалност Лобачевског огледа се у самој његовој методи. Он је претпоставио супротно, да другачију формулацију П. Е. постулата придружи претходним и да изведе противречност такве геометрије. Међутим, није му то успело. Затим је Лобачевски доказао да је његова нова геометрија једнако непротивречна као и Еуклидска!

Аксиом Лобачевског

Кроз тачку која не лежи на датој правој пролазе бар две праве које с датом правом леже у истој равни и не секу ову праву.

Геометрија Лобачевског је једнако тачна као и Еуклидова геометрија, иако последице (теореме) које проистичу из аксиома геометрије Лобачевског на први поглед имају парадоксални карактер и изгледају апсурдно нашим обичним представама. На пример,

Последица 1

Збир углова у троуглу није сталан и увек је мањи од испруженог (од 180°).

Последица 2

Не постоје слични а неконгруентни (неједнаки) троуглови.

Последица 3

Однос обима и пречника круга већи је од π .

Последица 4

Не може се око сваког троугла описати кружница.

Седласта површ је једна репрезентација геометрије Лобачевског у две димензије. То је тако усукана (Еуклидова) површ да личи на јахаће седло. Три тачке ове површи спојене дужима, чија дужина је минимално растојање између датих тачака, формираће троугао са збиром унутрашњих углова мањим од 180°.

Геометрија Лобачевског има и други назив: Хиперболичка нееуклидска геометрија, која са Елиптичком геометријом Римана чини нееуклидову, апсолутну геометрију.

Види још

• Математика
• Геометрија
• Тригонометрија
• Планиметрија
• Троугао
• Однос обима и пречника круга

Литература

• Devlin, Keith J. (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. ISBN 978-0-8050-7254-9. 
• Weisstein, Eric W. (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd изд.). ISBN 978-1-58488-347-0.