Лопиталово правило

У математичкој анализи, Лопиталово правило омогућава налажење извесних граничних вредности са „неодређеним облицима“ помоћу извода. Примена (или узастопна примена) Лопиталовог правила може претворити неодређене облике у одређене облике, омогућавајући лако рачунање лимеса. Правило је добило име по 17. вековном француском математичару Гијому де Лопиталу, који је објавио правило у својој књизи Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (дословно: Анализа бесконачно малог како би се разумеле криве, 1696) што је прва књига о диференцијалној анализи.

Верује се да је правило дело Јохана Бернулија, пошто је Лопитал, који је био племић плаћао Бернулију 300 франака годишње, да га обавештава о открићима на пољу анализе, и да му помогне у решавању проблема. Међу овим проблемима је био лимес неодређених облика. Када је Лопитал објавио књигу, дао је заслуге Бернулију, и не желећи да преузме заслуге за било шта у књизи, рад је објавио анонимно. Бернули, који је био врло љубоморан, је тврдио да је он стваралац целокупног дела, и до скора се веровало да је тако. Па ипак, правило је названо по Лопиталу, који никад није ни тврдио да га је измислио.

Преглед

Увод

У простим случајевима, Лопиталово правило гласи да за функције f(x) и g(x), ако $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ или $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=\infty$, тада:

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

где прим (') означава извод.

Међу осталим условима, да би ово правило важило, мора да постоји лимес $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Остали услови су детаљније изложени доле, у формалном исказу.

Формални исказ

Лопиталово правило се, у основном облику, односи на граничне вредности разломка $f(x)/g(x)\$ када се и f и g ближе 0, или се и f и g ближе бесконачности. Лопиталово правило тврди да ту граничну вредност можемо наћи рачунајући лимес разломка $f'/g'\$, али наравно само ако овај потоњи постоји, и уз услов да је g′ различито од нуле у неком интервалу који садржи тачку која се посматра. Ова диференцијација може поједноставити разломак или га претворити у одређени облик, што олакшава налажење лимеса.

Лопиталово правило.

Нека је $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$. Нека је $c\in \mathbb {R} ^{*}$ и нека су f и g две функције диференцијабилне на неком отвореном интервалу (a, b) који садржи c (дакле са $b=\infty$ ако $c=\infty$ или са $a=-\infty$ ако $c=-\infty$), изузев, могућно, у самој тачки c, и такве да је

$\lim _{x\to c}{f(x)}=\lim _{x\to c}g(x)=0$  или  $\lim _{x\to c}{|f(x)|}=\lim _{x\to c}{|g(x)|}=+\infty$

и да је $g'(x)\neq 0$ за свако $x\in (a,b)$, $x\neq c$.

Тада, ако постоји гранична вредност

$\lim _{x\to c}{f'(x) \over g'(x)}=A$,  $A\in \mathbb {R} ^{*}$

онда је и

$\lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}=A.$

Лопиталово правило важи и за једностране лимесе.

Основни неодређени облици на које се Лопиталово правило односи су:

${0 \over 0}\qquad {\infty \over \infty }$

Остали неодређени облици, који се сви могу свести на основне (види примере) су

${\infty \qquad 0\cdot \infty \qquad 0^{0}\qquad \infty -\infty \qquad }$

Важност услова теореме

Важно је имати у виду услов да је неопходно да лимес $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ постоји. Диференцијација бројиоца и имениоца неодређених облика може ове облике да доведе до лимеса који не постоје. У тим случајевима, Лопиталово правило се не може примењивати и оставља питање постојања и вредности евентуалне граничне вредности потпуно отвореним. На пример, ако $f(x)=x+\sin(x)$ и $g(x)=x$, онда

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{x\to \infty }(1+\cos(x))$

не постоји, док је

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

У пракси се правило често користи, и ако лимес постоји, доноси се закључак да је примена Лопиталовог правила била легитимна.

Такође постоји услов да извод од g не нестане кроз цео интервал који садржи тачку c. Без такве хипотезе, закључак је погрешан. Стога се Лопиталово правило не може користити, рецимо, ни у случајевима где први извод имениоца изразито осцилује (мењајући притом знак) близу тачке где се тражи лимес. На пример ако $f(x)=x+\cos(x)\sin(x)$ и $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))$, тада

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos ^{2}{x}}{e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}$
	$=\lim _{x\to \infty }{\frac {2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}=0$

док

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$

не постоји, јер ${\frac {1}{e^{\sin(x)}}}$ флуктуира између e⁻¹ и e.

Јасно, Лопиталово правило се не може примењивати за налажење неодређених граничних вредности код којих нису и бројилац и именилац диференцијабилне функције.

Примери

• Следи пример који се тиче sinc функције, која има облик 0/0 :

$\lim _{x\to 0}\mathrm {sinc} (x)\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin \pi x}{\pi x}}\,$	$=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\,$
		$=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1\,$

Овај лимес се заправо може видети као дефиниција извода од sin(x) у x = 0. Заправо, он је неопходан у најчешћем доказу да је извод од sin(x) једнак cos(x), али се у том доказу не може користити Лопиталово правило, јер би тако дошло до кружног аргумента. Види #Логичка циркуларност доле.

• Следи детаљнији пример који укључује неодређени облик 0/0. Једнократна примена правила за резултат опет има неодређени облик. У овом случају, лимес се може добити троструком применом Лопиталовог правила:

$\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}$	$=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}$
	$=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}$
	$={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}$
	$=6\,$

• Следи још један случај са 0/0:

$\lim _{x\to 0}{e^{x}-1-x \over x^{2}}=\lim _{x\to 0}{e^{x}-1 \over 2x}=\lim _{x\to 0}{e^{x} \over 2}={1 \over 2}$

• Овде је случај ∞/∞:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}}\,)\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$

• Овај се тиче ∞/∞. Нека је n природан број.

$\lim _{x\to \infty }x^{n}e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{x^{n} \over e^{x}}=\lim _{x\to \infty }{nx^{n-1} \over e^{x}}=n\lim _{x\to \infty }{x^{n-1} \over e^{x}}$

Понављати горње све док експонент не постане 0. Тада се добије да је лимес 0. Ова гранична вредност нам говори да све степене функције расту (дивергирају бесконачности) спорије од експоненцијалне.

• Овај пример се такође тиче ∞/∞:

$\lim _{x\to 0+}x\ln x=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0$

• Претходни резултат се може користити код неодређеног облика $0^{0}$: Како би израчунали $\lim _{x\to 0+}x^{x}$, записујемо $x^{x}$ као $e^{x\ln x}$ и добијамо

$\lim _{x\to 0+}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0+}(x\ln x)}=e^{0}=1.$

• Ово је импулсни одговор издигнуто-косинусног филтера у електроници:

$\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\left\{\lim _{t\to 0}\,\mathrm {sinc} (f_{0}t)\right\}\cdot \left.{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}\,\right|_{t=0}$
	$=1\cdot 1=1$

$\lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}\mathrm {sinc} (f_{0}t)\cdot {\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \lim _{t\to {\frac {1}{2\alpha f_{0}}}}{\frac {\cos \left(\pi \alpha f_{0}t\right)}{\left[1-\left(2\alpha f_{0}t\right)^{2}\right]}}$
	$=\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\alpha }}\right)\cdot \left({\frac {-\pi /2}{-2}}\right)$
	$=\sin \left({\frac {\pi }{2\alpha }}\right)\cdot {\frac {\alpha }{2}}$

Докази Лопиталовог правила

Најчешћи доказ Лопиталовог правила користи Кошијеву теорему о средњој вредности. Потребно је засебно размотрити четири случаја, већ према томе да ли је $c\in {\mathbb {R} }$ или $c\in \{\pm \infty \}$ те да ли је $A\in {\mathbb {R} }$ или $A\in \{\pm \infty \}$. Ова разматрања се разликују у детаљима али прате сличне основне идеје; овде су обрађени случајеви када је c коначно.

Код неодређеног облика 0 са 0

Нека $f(x)\to 0,g(x)\to 0$. Ако предефинишемо функције f и g у тачки c тако да је $f(c)=g(c)=0$, оне ће бити непрекидне на затвореном интервалу [c, b] и диференцијабилне на (c, b). Ово не мења лимес, јер лимес (по дефиницији) не зависи од вредности у датој тачки.

Овако предефинисане функције f и g задовољавају услове Кошијеве теореме о средњој вредности, према којој постоји тачка $\xi$ у $c<\xi <c+h$ таква да:

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)-f(c)}{g(c+h)-g(c)}}$

Како $f(c)=g(c)=0$,

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}$

Када $h\to 0$, имамо $\xi \to c$ и стога

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim _{\xi \to c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(c+h)}{g(c+h)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

Код неодређеног облика бесконачно са бесконачно

Случај када је $|g(x)|\to +\infty$ се разматра слично. Нека је $c<x<y=x+h$. Тада, према Кошијевој теореми о средњој вредности, постоји $x<\xi <y$ такво да је

${\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}={\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}$

Записујемо ово у облику

${\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(y)}{g(x)}}+\left[1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right]{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$

а затим показујемо да вредности f(x)/g(x) теже ка A пуштајући лимес када $x\to c$ и $h\to 0$. Наиме, ако је h > 0 фиксирано али притом подесно мало, када $x\to c$ биће $f(y)/g(x)\to 0$ и $g(y)/g(x)\to 0$, као и $c<\xi <c+h+\epsilon$ и стога $f'(\xi )/g'(\xi )$ по жељи блиско A. Пуштајући потом лимес када $h\to 0$ следи $f(x)/g(x)\to A$. Ово резоновање се најлакше може формализовати коришћењем горњег и доњег лимеса.

Остале примене

Многи други неодређени облици, попут $1^{\infty }$, $\infty ^{0}$, и $\infty -\infty$ могу бити израчунати помоћу Лопиталовог правила.

На пример, у случају $\infty -\infty$, разлика две функције се претвара у разломак:

$\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {x+x-1}{2{\sqrt {x(x-1)}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x}}{2{\sqrt {x-1}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{2{\frac {1}{2{\sqrt {x-1}}}}}}+{\frac {\sqrt {x-1}}{2{\sqrt {x}}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {\sqrt {x-1}}{\sqrt {x}}}}}\quad$

$=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\sqrt {1-{\frac {1}{x}}}}}}\quad$

$={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\quad$

Правило се може коритити и на неодређеним облицима који укључују експоненте, коришћењем логаритама да се „спусти експонент“.

Друге методе рачунања лимеса

Мада је Лопиталово правило моћно оруђе за рачунање иначе тешко израчунљивих лимеса, оно није увек најлакши начин. Неке лимесе је лакше рачунати коришћењем развоја у Тејлорове редове.

На пример,

$\lim _{|x|\to \infty }x\sin {1 \over x}=\lim _{|x|\to \infty }x\left({1 \over x}-{1 \over x^{3}\cdot 3!}+{1 \over x^{5}\cdot 5!}-\cdots \right)\;$

$=\lim _{|x|\to \infty }1-{1 \over x^{2}\cdot 3!}+{1 \over x^{4}\cdot 5!}-\cdots \;=\;1\quad$

Да употребимо Лопиталово правило, граничну вредност овог разломка можемо записати као:

$\lim _{|x|\to \infty }\ {\sin {1 \over x} \over {1 \over x}}$,

те применом Лопиталовог правила, добијамо:

$L=\lim _{|x|\to \infty }\ {{\cos {1 \over x}\cdot {-1 \over x^{2}}} \over {-1 \over x^{2}}}$

$=\lim _{|x|\to \infty }{\cos {1 \over x}}\cdot {-1 \over x^{2}}\cdot {x^{2} \over -1}$

$=\cos {1 \over \infty }=\cos {\ 0}=1$

Логичка циркуларност

У неким случајевима, коришћење Лопиталовог правила може да доведе до кружног закључивања, при рачунању лимеса као што су

$\lim _{h\to 0}{(x+h)^{n}-x^{n} \over h}.$

Ако се израчуната вредност горњег лимеса користи у сврху доказивања да

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$,

а Лопиталово правило и чињеница да

${d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}\,$

у израчунавању лимеса, аргумент користи очекивани резултат да докаже самог себе, и стога је погрешан (чак иако се испостави да је закључак доказа ипак тачан).

Спољашње везе

• (језик: енглески)Лопиталово правило на сајту Mathworld
• (језик: енглески)Лопиталово правило на сајту planetmath Архивирано на сајту Wayback Machine (30. октобар 2008)
• C. Truesdell The New Bernoulli Edition Isis, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1958), pp. 54-62, расправља необичан договор између Бернулија и Лопитала на страницама 59-62.