Питагорино дрво

Питагорино дрво је равански фрактал конструисан помоћу квадрата. Добио је име по Питагори зато што свака тројка суседних квадрата својим заједничким теменима одређује правоугли троугао, у облику који се традиционално користи за приказ Питагорине теореме.

Ако је страница првог квадрата дужине 1, цело Питагорино дрво може стати у правоугаоник величине 6×4. Ситнији детаљи дрвета подсећају на Левијеву Ц криву.

Фрактал је први конструисао холандски математичар Алберт Босман (хол. Albert E. Bosman) 1942. године.

Конструкција

Конструкција Питагориног дрвета почиње квадратом. Над њим се конструишу два мања квадрата, са коефицијентом сличности ½√2, тако да сваки квадрат има по једно заједничко теме са преостала два. Исто се понавља рекурзивно над два мања квадрата, ad infinitum. Следеће илустрације приказују првих неколико итерација у поступку конструкције.

Конструкција Питагориног дрвета, ниво 1	Ниво 2	Ниво 3	Ниво 4
Ниво 0	Ниво 1	Ниво 2	Ниво 3

Површина

n-та итерација у конструкцији додаје 2ⁿ квадрата површине (½√2)²ⁿ, са укупном површином једнаком 1. Зато се чини да се површина дрвета бесконачно увећава када n→∞. Ипак, како се неки од квадрата преклапају почевши од пете итерације, дрво има коначну површину, с обзиром да је смештено у правоугаоник 6×4.

Лако је показати да за површину A Питагориног дрвета важи 5 < A < 18, а уз додатни напор она се може и прецизније ограничити. Међутим, сама вредност A је непозната.

Варијације

Ако се уместо два иста квадрата, у новом кораку они конструишу тако да је један већи од другог (односно да правоугли троугао одређен теменима три суседна квадрата не буде једнакокраки), резултат ће бити „Питагорино дрво на ветру“.

Ниво 0	Ниво 1	Ниво 2	Ниво 5
Ниво 0	Ниво 1	Ниво 2	Ниво 5

Спољашње везе

• Галерија слика Питагориног дрвета
• Јава аплет који исцртава Питагорино дрво