Рикатијева једначина

Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:

$y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}$,

где су $P(x)\neq 0$ и $R(x)\neq 0$. У случају $P(x)=0$ једнака је Бернулијевој једначини. Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију.

Редукција на линеарну једначину другога реда

Нелинеарна Рикатијева једначина:

$y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!$

може да се редукује на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да $q_{2}$ није једнак нули тада се супституцијом $v=yq_{2}$ од Рикатијеве једначине добија:

$v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!$.

Ако ту означимо $S=q_{2}q_{0}$ и $R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)$ онда Рикатијева једначина постаје облика:

$v'=v^{2}+R(x)v+S(x).\!$

Уведемо ли супституцију $v=-u'/u$ онда следи:

$v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!$ и одатле:

$u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!$

односно добија се диференцијална једначина за $u$:

$u''-R(x)u'+S(x)u=0\!$

Решавање интеграцијом

Знамо ли једно од парцијалних решења $y_{1}$ Рикатијеве једначине тада се опште решење може представити као:

$y=y_{1}+u$

Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:

$y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},$

и онда:

$y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}$

$u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}$

тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина:

$u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},$.

Бернулијеву једначину решавамо супституцијом

$z={\frac {1}{u}}$ тј.

$y=y_{1}+{\frac {1}{z}}$

па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:

$z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}$

Литература

• Рикатијева једначина
• Hille, Einar (1997) [1976], Ordinary Differential Equations in the Complex Domain, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0