Саха једначина

Саха једначина или Саха-Лангмур једначина у физици плазме је једначина која повезује степен јонизације плазме са њеном температуром. Степен јонизације плазме је представљен као функција температуре, густине и јонизационе енергије атома. Помоћу ове једначине може се изразити однос броја различитих честица у плазми при датој температури када су познати равнотежни услови, а у систему могу да се врше честичне трансформације:

${\frac {n_{\alpha +1}n_{e}}{n_{\alpha }}}=2{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}{\frac {Z_{\alpha +1}^{(el)}}{Z_{\alpha }^{(el)}}}e^{{\frac {ee_{\alpha +1}}{4\pi \epsilon _{0}r_{D}}}{\frac {1}{kT}}}.$

Једначина је добила назив по индијском астрофизичару Мегханду Сахи који ју је извео 1920. године користећи статистичку физику и квантну механику. Једначину је унапредио Ирвинг Лангмур 1923. године. Једна од првих примена једначине била је у спектралној класификацији звезда.

Домен примене једначине

Саха једначина се може применити само на слабо јонизоване плазме, односно за плазме код којих су степени јонизације ниски. Код таквих система је Дебајев радијус велики и у том случају се може занемарити екранирајући Кулонов потенцијал између различитих јона или електрона. Значајно побољшање једначине се добија уз електростатичку корекцију. Квантно-механички, електростатичка корекција се тумачи као укључивање прекривања енергетских нивоа. Једна од чешће коришћених корекција је Екер-Кровова корекција.

Када је степен јонизације велики, губи се локализација система због великих интеракција и долази до откидања електрона са јона. Високо-јонизована стања нису стабилна и сваки судар их може извести из везаног стања.

Извођење једначине

За добијање Саха једначине полази се од познавања да у термодинамичкој равнотежи функција слободне енергије F има минимум по варијацији броја честица:

${\frac {\partial F}{\partial N_{\alpha }}}=0.$

Слободна енергија се може представити као збир доприноса од идеалног система и доприноса од интеракције. F_id се може представити преко статистичке суме Z у канонском ансамблу као:

$F_{id}=-kT\ln {Z}.$

Како се на високим температурама све симетризоване расподеле своде на Максвел-Болцманову расподелу и нормализациони фактор се на високим температурама своди на дељење са N! за сваку врсту честица, то је:

$Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\frac {Z_{\alpha }^{N_{\alpha }}}{N_{\alpha }!}},$

што се уз коришћење Стирлингове формуле своди на:

$Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\Big (}{\frac {eZ_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}^{N_{\alpha }}.$

Убацивањем овог израза у израз за идеални део слободне енергије и налажењем варијације по броју сваке од честица, добијамо варијацију за идеални члан. Апроксимација у првом реду варијације када се посматра само највећи члан је:

$\delta F_{id}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}\delta N_{\alpha }.$

док се за варијацију за интеракциони члан може користити:

$\delta F_{int}=-kT{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha =-1}^{s}e_{\alpha }^{2}\delta {N_{\alpha }}$

Тада је израз за укупну условну варијацију:

$\delta F=\delta F_{id}+\delta F_{int}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}{\Big [}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}+{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha }e_{\alpha }^{2}{\Big ]}\delta {N_{\alpha }}.$

Коришћењем услова да се сумира само по тешким честицама, а не и по броју електрона, као и да је њихов целокупни број одржан ($\Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }=0$), те да је систем електронеутралан ($\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0$), може се формирати једначина:

$\partial F+\mu \Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }+\nu \Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0,$

где су μ и ν Лагранжеви множитељи. Како су све варијације условно независне, то сви коефицијенти испред варијација морају бити једнаки нули и одавде се добијају вредности за Лагранжеве множитеље. За електроне је α=-1 и одавде се добија коефицијент ν, а за атоме је α=0, те се добија μ. Уз познате Лагранжеве множитеље, можемо добити општи израз једначине за произвољни степен јонизације и одузимањем једначина за јоне степена јонизације α и α+1, добија се:

$kT\ln {\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{Z_{\alpha +1}}}{\frac {N_{\alpha +1}}{N_{\alpha }}}{\Big )}-{\frac {(2\alpha +1)e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}-kT\ln {Z_{e}}{N_{e}}=0.$

Коришћењем израза за Z_e ($Z_{e}=2V{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}$) и да је Z заправо прозвод транслационог, вибрационог, ротационог и електронског дела, од чега се за два степена јонизације разликује само електронски део, те сређивањем, добија се коначан облик једначине:

${\frac {n_{\alpha +1}n_{e}}{n_{\alpha }}}=2{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}{\frac {Z_{\alpha +1}^{(el)}}{Z_{\alpha }^{(el)}}}e^{{\frac {ee_{\alpha +1}}{4\pi \epsilon _{0}r_{D}}}{\frac {1}{kT}}}.$

Види још

• Спектрални типови звезда

Литература

• Милић, Божидар (1989). Основа физике гасне плазме. Београд: Грађевинска књига. стр. 57—61. ISBN 978-86-395-0129-7.