Стјуартова теорема

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (енгл. Matthew Stewart c. 1717/1719 - 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Доказ преко тригонометрије

Теорема може да се докаже на следећи начин:

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}$

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо

${\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}$

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

$AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP$ · $CP\,$

Види још

• Троугао
• Тежишна дуж

Литература

• Waterston, Charles D; Macmillan Shearer, A (јул 2006). Former Fellows of the Royal Society of Edinburgh 1783-2002: Biographical Index (PDF). II. Единбург: Единбуршка академија наука и уметности. ISBN 9780902198845. Архивирано из оригинала (PDF) 04. 10. 2006. г. Приступљено 29. септембар 2010.