Теодорова спирала

У геометрији, Теодорова спирала (која се назива и спирала квадратног корена, Ајнштајнова спирала, Питагорина спирала или Питагорин пуж)^[1] је спирала састављена од правоуглих троуглова, постављених од ивице до ивице. Добила је име по Теодору из Кирене.

Конструкција уреди

Спирала почиње са једнакокраким правоуглим троуглом, при чему сваки крак има јединичну дужину . Формира се још један правоугли троугао, аутомедијални правоугли троугао са једним краком који је хипотенуза претходног троугла (са дужином квадратним кореном од 2 ), а други крак има дужину од 1; дужина хипотенузе овог другог троугла је квадратни корен од 3 . Процес се затим понавља; $n$ троугао у низу је правоугли троугао са дужинама страница ${\sqrt {n}}$ и 1, и са хипотенузом ${\sqrt {n+1}}$ . На пример, 16. троугао има странице које се мере $4={\sqrt {16}}$ , 1 и хипотенуза од ${\sqrt {17}}$ .

Историја и употреба уреди

Иако је сав Теодоров рад изгубљен, Платон је Теодора ставио у свој дијалог Тетет, који говори о његовом делу. Претпоставља се да је Теодор Теодорове спирале доказао да су сви квадратни корени неквадратних целих бројева од 3 до 17 ирационални.

Платон не приписује Теодору ирационалност квадратног корена из 2, јер је то било добро познато пре њега. Теодор и Тетет су поделили рационалне и ирационалне бројеве у различите категорије.

Хипотенуза уреди

Хипотенузе сваке од троуглова $h_{n}$ даје квадратни корен одговарајућег природног броја, са $h_{1}={\sqrt {2}}$ .

Платон, кога је Теодор подучавао, питао се зашто се Теодор зауставио ${\sqrt {17}}$ . Обично се верује да је разлог то што ${\sqrt {17}}$ хипотенуза припада последњем троуглу који не преклапа фигуру.

Преклапање уреди

Године 1958. Калеб Вилијамс је доказао да се две хипотенузе никада неће поклопити, без обзира на то колико се спирала наставља. Такође, ако су странице јединичне дужине продужене у праву, оне никада неће проћи ни кроз један од других врхова укупне фигуре.

Продужетак уреди

Обојена продужена Теодорова спирала са 110 троуглова

Теодор је зауставио спиралу у троуглу са хипотенузом од ${\sqrt {17}}$ . Ако се спирала настави на бесконачно много троуглова, наћи ће се много интересантнијих карактеристика.

Брзина раста уреди

Угао уреди

Троугао или део спирале

Ако $\varphi _{n}$ је угао $n$ троугао (или спирални сегмент), онда:

\tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt {n}}}.

Дакле, раст угла $\varphi _{n}$ следећег троугла $n$ је:

\varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right).

Збир углова првог

k

троуглова се назива укупни угао

\varphi (k)

за

k

тх троугао. Расте пропорционално квадратном корену од

k

, са ограниченим термином корекције

c_{2}

:^[1]

\varphi \left(k\right)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2{\sqrt {k}}+c_{2}(k)

где

\lim _{k\to \infty }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots

Полупречник уреди

Раст полупречника спирале у одређеном троуглу $n$ је

\Delta r={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}.

Архимедова спирала уреди

Теодорова спирала се приближава Архимедовој спирали.^[1] Као што је растојање између два намотаја Архимедове спирале једнако математичкој константи $\pi$ , како се број окрета Теодорове спирале приближава бесконачности, растојање између два узастопна намотаја се брзо приближава $\pi$ . Следи табела која приказује два намотаја спирале која се приближавају пи:

Број намотаја:	Израчунато просечно растојање намотаја	Тачност просечне удаљености намотаја у поређењу са π
2	3.1592037	99,44255%
3	3.1443455	99,91245%
4	3.14428	99,91453%
5	3.142395	99,97447%
$\to \infty$	$\to \pi$	$\to 100\%$

Као што је приказано, након само петог намотаја, удаљеност је 99,97% тачна апроксимација $\pi$ .^[1]

Непрекидна крива уреди

Дејвисов аналитички наставак Теодорове спирале, укључујући проширење у супротном смеру од почетка (негативни бројеви чворова).

Питање како интерполирати дискретне тачке Теодорове спирале глатком кривом предложено је и на које је одговорено Davis 2001 по аналогији са Ојлеровом формулом за гама функцију као интерполантом за факторијалну функцију. Давис је пронашао функцију

T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+i/{\sqrt {k}}}{1+i/{\sqrt {x+k}}}}\qquad (-1<x<\infty )

коју су даље проучавали његов ученик Лидер и Изерлес (у додатку Davis 2001). Аксиоматска карактеризација ове функције је дата у Gronau 2004 као јединствене функције која задовољава функционалну једначину

f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\sqrt {x+1}}}\right)\cdot f(x),

почетно стање

f(0)=1,

и монотоност и аргумента и модула; алтернативни услови и слабљења се такође проучавају у њему. Алтернативни извод је дат у Heuvers, Moak & Boursaw 2000.

Аналитички наставак Дејвисовог континуираног облика Теодорове спирале који се протеже у супротном смеру од почетка дат је у Waldvogel 2009. На слици су чворови оригиналне (дискретне) Теодорове спирале приказани као мали зелени кругови. Плави су они, додани у супротном смеру од спирале. Само чворови $n$ са целобројном вредношћу поларног радијуса $r_{n}=\pm {\sqrt {|n|}}$ су нумерисани на слици. Испрекидани круг у координатном почетку $O$ је круг закривљености на $O$ .

Види још уреди

Референце уреди

^ ^а ^б ^в ^г Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.

Додатна литература уреди

Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
Gronau, Detlef (март 2004), „The Spiral of Theodorus”, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230—237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130
Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), „The functional equation of the square root spiral”, Ур.: T. M. Rassias, Functional Equations and Inequalities, стр. 111—117
Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)

[:0-1] а ^б ^в ^г Hahn, Harry K.; Schoenberger, Kay. „The ordered distribution of natural numbers on the square root spiral”. arxiv.

[1]