Тригонометријски идентитети

У математици тригонометријски идентитети су еквивалентни са употребом тригонометријских функција и оне важе за сваку вредност променљивих. Геометријски, они су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они су посебни тригонометријски идентитети, они укључују оба угла дужине страна троугла. Само неки су поменути у овом чланку.

Косинус и синус око јединичног круга.

Ови идентитеи су корисни када год имамо израз који укључује тригонометријске функције, а треба да буде поједностављен. Битан захтев је интеграција не-тригонометријских функција : уобичајена техника укључује првобитно примену правила супституције на тригонометријским функцијама, и онда поједностављивање резултата интеграла са тригонометријским идентитемиа.

Нотација

Углови

Овај чланак користи грчка слова као што су alpha beta, gamma и theta да представи углове. Неколико различитих јединица су широко распрострањене, уклључујући степене, радијане и градијане :

1 пун круг  = 360 степени = 2$\pi$ радијана  =  400 градијана.

Следећа табела показује верзију неких од уобичајених углова:

Degrees	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Radians	${\frac {\pi }{6}}\!$	${\frac {\pi }{3}}\!$	${\frac {2\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{6}}\!$	${\frac {7\pi }{6}}\!$	${\frac {4\pi }{3}}\!$	${\frac {5\pi }{3}}\!$	${\frac {11\pi }{6}}\!$
Grads	33⅓ grad	66⅔ grad	133⅓ grad	166⅔ grad	233⅓ grad	266⅔ grad	333⅓ grad	366⅔ grad
Degrees	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Radians	${\frac {\pi }{4}}\!$	${\frac {\pi }{2}}\!$	${\frac {3\pi }{4}}\!$	$\pi \!$	${\frac {5\pi }{4}}\!$	${\frac {3\pi }{2}}\!$	${\frac {7\pi }{4}}\!$	$2\pi \!$
Grads	50 grad	100 grad	150 grad	200 grad	250 grad	300 grad	350 grad	400 grad

Осим ако је наведено супротно сви углови у овом чланку ће бити у радијанима, осим углова који се завршавају симболом степена (°), који су у степенима.

Тригонометријске функције

Примарне тригонометријске функције су синус и косинус угла. Они су понкад скраћене sin и cos.

Синус угла је дефинисан у контексту правог троугла као однос дужина странице која је наспрам угла, подељене дужином најдуже странице троугла, хипотенузе.

Косинус угла је такође дефинисан у контексту правог троугла, као однос дужина страница на којој лежи угао, подељене дужином најдуже странице троугла, хипотенузом.

Тангенс угла је однос синуса и косинуса:

$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.$

Коначно, реципроцна функција sec, csc i ctg су реципрочне синусу косинусу и тангенсу:

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.$

Инверзне функције

Главни чланак: Inverse trigonometric functions

Инверзне тригонометријске функције су делимично инверзне функције за тригонометријске функције. На пример, инверзна функција за синус, позната као 'инверзни синус' или arcsin задивољава

$\sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1$

и

$\arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq \pi /2.$

Овај чланак користи нотације испод за инверзне тригонометријске функције :

Function	sin	cos	tan	sec	csc	cot
Inverse	arcsin	arccos	arctan	arcsec	arccsc	arccot

Питагорини идентитети

Основна веза између синуса и косинуса су Питагорини тригонометријски идентитет :

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

где cos² θ значи (cos(θ))² и sin² θ значи (sin(θ))².

Ово се може посматрати као верзија питагорине теореме, и прати једначину x² + y² = 1 за пуни круг. Ова једнакост може бити показана и преко синуса и преко косинуса :

$\sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{and}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,$

Повезани идентитети

Дељењем Питагориног идентитета са cos² θ или sin² θ доприноси стварању два идентитета :

$1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!$

Коришћењем ових идентитета заједно са размерним идентитетима, могуће је изразити било коју тригонометријску функцију у изразима било којих других (све до плус минус знака) :

Each trigonometric function in terms of the other five.

in terms of	$\sin \theta \!$	$\cos \theta \!$	$\tan \theta \!$	$\csc \theta \!$	$\sec \theta \!$	$\cot \theta \!$
$\sin \theta =\!$	$\sin \theta \$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\csc \theta }}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\cos \theta =\!$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!$	$\cos \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!$	${\frac {1}{\sec \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!$
$\tan \theta =\!$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!$	$\tan \theta \!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!$	${\frac {1}{\cot \theta }}\!$
$\csc \theta =\!$	${\frac {1}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!$	$\csc \theta \!$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!$
$\sec \theta =\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\cos \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!$	$\sec \theta \!$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!$
$\cot \theta =\!$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!$	${\frac {1}{\tan \theta }}\!$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!$	$\cot \theta \!$

Историјска стенографија

Све тригонометријске функције угла θ се могу конструисати геометријски у оквиру пуног круга са центром у  O. Многи ови оквири нису више у употреби.

Синус версус, косинус версус и ексекант се користи у навигацији. На пример синус версус формула је коришћена за израчунавање удаљености између два дела свере. Данас се ретко користи.

Name(s)	Abbreviation(s)	Value
versed sine, versine	$\operatorname {versin} (\theta )$ $\operatorname {vers} (\theta )$ $\operatorname {ver} (\theta )$	$1-\cos(\theta )$
versed cosine, vercosine	$\operatorname {vercosin} (\theta )$	$1+\cos(\theta )$
coversed sine, coversine	$\operatorname {coversin} (\theta )$ $\operatorname {cvs} (\theta )$	$1-\sin(\theta )$
coversed cosine, covercosine	$\operatorname {covercosin} (\theta )$	$1+\sin(\theta )$
half versed sine, haversine	$\operatorname {haversin} (\theta )$	${\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$
half versed cosine, havercosine	$\operatorname {havercosin} (\theta )$	${\frac {1+\cos(\theta )}{2}}$
half coversed sine, hacoversine cohaversine	$\operatorname {hacoversin} (\theta )$	${\frac {1-\sin(\theta )}{2}}$
half coversed cosine, hacovercosine cohavercosine	$\operatorname {hacovercosin} (\theta )$	${\frac {1+\sin(\theta )}{2}}$
exterior secant, exsecant	$\operatorname {exsec} (\theta )$	$\sec(\theta )-1$
exterior cosecant, excosecant	$\operatorname {excsc} (\theta )$	$\csc(\theta )-1$
chord	$\operatorname {crd} (\theta )$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

Симетрија смене и периодичност

Испитивањем пуног круга, пратећа својства тригонометријских функција могу бити утврђени.

Симетрија

Када су тригонометријске функције рефлектоване на одређен угао, резултат је често једна од тригонометријских функција. То нас води до следећих идентитета :

Reflected in $\theta =0$	Reflected in $\theta =\pi /2$ (co-function identities)	Reflected in $\theta =\pi$
${\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}$

Смене и периодичности

Под сменом функције круга неким одређеним углом често је могуће уочити различите тригонометријске функције које показују те резултате у једноставнијем облику. Неки примери овога су приказани сменом функција круга са π/2, π и 2π радијана. Због стила функција је π или 2π, има случајева када је нова функција у потпуности иста као стара без смене.

Shift by π/2	Shift by π Period for tan and cot	Shift by 2π Period for sin, cos, csc and sec
${\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}$

Збир углова и разлика идентитета

Илустрација адиционе формуле за синус и косинус.

Илустрација адиционе формуле за тангенс.

Види још: § Product-to-sum and sum-to-product identities

Познате су као адиционе и одузимајуће теореме или формуле. Оне потичу из десетог века и утврдио их је персијски математицар Abū al-Wafā' Būzjānī. Један метод доказивања ових идентитета се поклапа са Еулеровом формулом.

За диаграм адиције угла за синус и косинус, тамна линија са 1 своје дужине је дужине један. Хипотенуза десног угла троугла са углом β са којим даје синус β и косинус β. Косинус β линија је хипотенуза десног угла троугла са углом α тако да има са стране синус α и косинус α и обоје поможено са косинус β. Ово је исто за синус β линију. Уопстено дијаграм може бити коришћен да покаже синус и косинус збира идентитета

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Јер супротне стране правоугаоника су једнаке.

Sine	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!$
Cosine	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,$
Tangent	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$
Arcsine	$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin \left(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\right)$
Arccosine	$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos \left(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}}\right)$
Arctangent	$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)$

Матрична форма

Види још: Множење матрица

Збир и разлика формула синуса и косинуса може бити написана у матрикс форми као :

${\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}$

Синус и косинус збира бесконачности односа

$\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

$\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)$

У ова два идентитета асиметричност се појављује али није виђена у случају збира коначности многих услова : У сваком продукту, има неколико коначних синус фактора и двосмислености многих косинус фактора.

Само ако бесконацност многих ових услова θ_i није нула, онда само коначност многих услова са десне стране неће бити нула јер синус факор ће нестати, у савком услову, све осим коначности многих косинус фактора ће бити заједно.

Збир тангенса

ако e_k (for k = 0, 1, 2, 3, ...) буде ktи степен елементарног симетричног полинома у варијаблама

$x_{i}=\tan \theta _{i}\,$

for i = 0, 1, 2, 3, ..., i.e.,

${\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}$

Онда

$\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.\!$

Број услова са десне стране зависи од броја услова са леве.

На пример:

${\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}$

И тако даље.

Збир секанса и косеканса

${\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}$

где e_k is the kти степен елементарног симетричног полинома у n варијабли x_i = tan θ_i, i = 1, ..., n, и број услова у имениоцу и број фактора у резултату у броиоцу зависи од броја услова у збиру са леве стране. Случај коначности многих услова може бити проверена математичком индукцијом. Конвергенција серија у имениоцу може бити показана писањем секанс идентитета у форми

$e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots ={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)}}$

и онда посматра да је лева страна конвергентна уколико је десна страна конвергентна, и слична косенканс идентитету.

На пример,

${\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}$

Експоненцијалне дефиниције

Function	Inverse function
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., ур. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. 

Спољашње везе

• Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°, and for the same angles Csc and Sec and Tan.