1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ...
У математици, дивергентни ред
Ако заменимо сабирање и интеграцију (игноришући чињеницу да ниједна страна не конвергира), добијамо:
Збир у заградама конвергира и иноси 1/(1 + x) ако је x < 1. Ако ово аналитички наставимо 1/(1 + x) за свако реално x, добијамо конвергентни интеграл за збир:
где је експоненцијални интеграл. Ово је по дефиницији Бореловог збира за редове.
Извођење
уредиРазмислите о спојеном систему диференцијалних једначина
где тачке означавају временске деривате.
Решење са стабилном равнотежом за кад је . И његовом заменом у првој једначини нам даје фомално решење реда
Обратите пажњу да је управо Ојлеров ред.
Са друге стране, видимо да систем диференцијалних једначине има решење
Узастопном интеграцијом делова, поправљамо формални степен реда као асимптотска апроксимација овг израза за . Ојлер се слаже (више или мање) да поставка једнака једначини даје
Резултати
уредиРезултати за првих 10 вредности k су приказани испод:
k | Повећање рачунице | Повећање | Резултат |
---|---|---|---|
0 | 1 · 0! = 1 · 1 | 1 | 1 |
1 | −1 · 1 | −1 | 0 |
2 | 1 · 2 · 1 | 2 | 2 |
3 | −1 · 3 · 2 · 1 | −6 | −4 |
4 | 1 · 4 · 3 · 2 · 1 | 24 | 20 |
5 | −1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −120 | −100 |
6 | 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | 720 | 620 |
7 | −1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −5040 | −4420 |
8 | 1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | 40320 | 35900 |
9 | −1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −362880 | −326980 |
Види још
уредиРеференце
уреди- ^ Euler, L. (1760), „De seriebus divergentibus”, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (5): 205, arXiv:1202.1506
Додатна литература
уреди- Kline, Morris (новембар 1983), „Euler and Infinite Series”, Mathematics Magazine, 56 (5): 307—313, doi:10.2307/2690371
- Kozlov, V. V. (2007), „Euler and mathematical methods in mechanics” (PDF), Russian Mathematical Surveys, 62 (4): 639—661, doi:10.1070/rm2007v062n04abeh004427
- Leah, P. J.; Barbeau, E. J. (мај 1976), „Euler's 1760 paper on divergent series”, Historia Mathematica, 3 (2): 141—160, doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6