Stoksova teorema

U matematici i fizici, Stoksova teorema ili Kelvin-Stoksova teorema, nazvana po Džordžu Gabrijelu Stoksu i Lordu Kelvinu je generalizacija Grinove teoreme u višim dimenzijama. Poznata je i kao osnovna teorema rotacije, a jedna je od bitnijih teorema u vektorskoj analizi. Ona povezuje krivolinijski integral oko proste zatvorene krive C i dvostruki integral nad oblasti S ograničenom sa C, a takođe povezuje i definiciju eksteriornih izvoda sa topološkim konturama u slučaju njene generalizacije.

Teorema u trodimenzionalnom R³ omotaču glasi:

Neka je S pozitivno orijentisana, deo po deo, glatka površina ograničena jednostavnom, zatvorenom krivom C= ∂S i neka je F vektorsko polje koje pripada toj površini, onda je:

$\int \limits _{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}=\iint \limits _{S}\nabla \times {\vec {F}}\cdot d{\vec {S}}$

Za pozitivnu orijentaciju krive smatra se orjentacija u smeru suprotnom smeru kazaljki na satu. Nekada se crta kružić na simbolu integrala da se označi da je kriva C zatvorena kriva.

Intuicija dokaza уреди

Kao univerzalniji pristup Grinovoj teoremi, intuicija iza Stoksove teoreme govori da je ukupna zakrivljenost nad jednim prostorom jednaka zakrivljenosti na njegovoj granici.

Primena уреди

Stoksova teorema ima brojnih primena u fizici, to jest mehanici fluida, irotacionim vektorskim poljima, elektromagnetizmu, topologiji,... Ovde se razmatra primena na Maksvelove jednačine, najbitnije jednačine elektromagnetizma.

Maksvelove jednačine уреди

U elektromagnetizmu, Stoksova teorema omogućava proveru jednakosti diferencijalnih formi u Maksvel-Faradejevom i Maksvel-Amperovom zakonu. Ako se primeni na električno polje E u Faradejevom zakonu glasi:

$\oint \limits _{\partial \Sigma }E\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times E\cdot dS$

U Amperovom zakonu primenljiva je na magnetno polje B:

\oint \limits _{\partial \Sigma }B\cdot dl=\iint \limits _{\Sigma }\nabla \times B\cdot dS

Generalizacija уреди

Generalizacija Stoksove teoreme na višedimenzionalne omotače pruža matematičko shvatanje kontura i pokazuje primenu eksteriornih izvoda (generalizuje izvode na više dimenzije). Ona glasi:

$\int \limits _{\partial t}{\vec {F}}=\int \limits _{t}d{\vec {F}}$

U notaciji ∂t označava konturu, a dF eksteriorni izvod. Teorema pokazuje suprotnost između kontura i izvoda. Pokazuje i da su diferencijalni i infintezimalni račun u jednoj, dve i tri dimenzije, kao i osnovna teorema diferencijalnog i infintezimalnog računa samo njeni specijalni slučajevi.