Гегенбауерови полиноми су ортогонални полиноми
C
n
(
α
)
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}
(
1
−
x
2
)
y
″
−
(
2
α
+
1
)
x
y
′
+
n
(
n
+
2
α
)
y
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}
Гегенбауерови полиноми представљају специјални случај Јакобијевих полинома , а Лежандрови полиноми и Чебишевљеви полиноми су специјални случај Гегенбауерових полинома. Добили су име по аустријском математичару Леополду Гегенбауеру .
Гегенбауерови полиноми су специјални случај Јакобијевих полинома :
C
n
(
α
)
(
x
)
=
(
2
α
)
n
(
α
+
1
2
)
n
P
n
(
α
−
1
/
2
,
α
−
1
/
2
)
(
x
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}
Могу да се прикажу помоћу хипергеометријске функције :
C
n
(
α
)
(
z
)
=
(
2
α
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
2
α
+
n
;
α
+
1
2
;
1
−
z
2
)
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}
односно развојем се добија:
C
n
(
α
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
Γ
(
n
−
k
+
α
)
Γ
(
α
)
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
z
)
n
−
2
k
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}
Гегенбауерови полиноми могу да се прикажу и помоћу Родригезове формуле:
C
n
(
α
)
(
z
)
=
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
−
1
)
k
Γ
(
n
−
k
+
α
)
Γ
(
α
)
k
!
(
n
−
2
k
)
!
(
2
z
)
n
−
2
k
.
{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}
уреди
Функција генератриса Гегенбауерових полинома је:
1
(
1
−
2
x
t
+
t
2
)
α
=
∑
n
=
0
∞
C
n
(
α
)
(
x
)
t
n
.
{\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}.}
Гегенбауерови полиноми задовољавају следећу рекурзију:
C
0
α
(
x
)
=
1
C
1
α
(
x
)
=
2
α
x
C
n
α
(
x
)
=
1
n
[
2
x
(
n
+
α
−
1
)
C
n
−
1
α
(
x
)
−
(
n
+
2
α
−
2
)
C
n
−
2
α
(
x
)
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{\alpha }(x)].\end{aligned}}}
За фиксни α полиноми су ортогонални на [−1, 1] са тежинском функцијом:
w
(
z
)
=
(
1
−
z
2
)
α
−
1
2
.
{\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}
Добија се за n ≠ m ,
∫
−
1
1
C
n
(
α
)
(
x
)
C
m
(
α
)
(
x
)
(
1
−
x
2
)
α
−
1
2
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}
а за исти n :
∫
−
1
1
[
C
n
(
α
)
(
x
)
]
2
(
1
−
x
2
)
α
−
1
2
d
x
=
π
2
1
−
2
α
Γ
(
n
+
2
α
)
n
!
(
n
+
α
)
[
Γ
(
α
)
]
2
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{\alpha }(x)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f7e040cb401c72d41eab0bda662f115229feed)
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b5696990f291fed55949f3b9e2f1669b9f4c83)