Инверзна функција

У математици, ако функција ƒ пресликава скуп A на скуп B, онда је њена инверзна функција ƒ^-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функција $f\circ f^{-1}$ пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(x) = 1,6 · x), онда њена инверзна функција g = ƒ^-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност

Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ^-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

Сурјективно али неинјективно пресликавање
Инјективно али несурјективно пресликавање
Бијекција

Нпр. фукција $f(x)=x^{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг $\mathbb {R} ^{+}$ , а не читав кодомен $\mathbb {R}$ ). Иста функција, али дефинисана као $\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ има инверзну функцију ${\sqrt {x}}$ . Функција $f(x)=x^{3}\,\!$ има инверзну, а $f(x)=x^{3}-x\,\!$ нема јер није инјективна ( $f(0)=f(1)=0\,\!$ ).

Особине

Симетрија

Нека је id функција идентитета id_X = x. Тада важи

{\begin{aligned}f\circ f^{-1}=id_{X}\\f^{-1}\circ f=id_{Y}\end{aligned}}

односно $(f^{-1})^{-1}=f\,\!$ .

Инверзна функција сложене функције

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}

Аутоинверзија

Функција идентитета је инверзна сама себи:

id_{X}^{-1}=id_{X}\,\!

Графичко представљање

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву $y=x\,\!$ .

Извод инверзне функције

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима $f(x)\neq 0\,\!$ важи следећа формула за извод инверзне функције:

{\frac {d}{dy}}\left[f^{-1}(y)\right]={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}.

Обележавање

Важно је уочити да ^-1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо ${\tfrac {1}{f(x)}}$ се записује као ƒ(x)^-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ⁽ⁿ⁾ означава n-ти извод функције:

f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x).

У тригонометрији, из историјских разлога, $\sin ^{2}x=(\sin x)^{2}\,\!$ а не $\sin(\sin x)\,\!$ , али је $\sin ^{-1}x=\arcsin x\,\!$ , а не ${\tfrac {1}{\sin x}}$ . Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена ( ${\tfrac {1}{\sin x}}=\csc x$ ). .

Литература

Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd изд.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (2002), Calculus (5th изд.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397