Леви-Чивита симбол

Леви-Чивита симбол представља математички пермутациони симбол, који се користи у тензорском рачуну. Име је добио по италијанском математичару Тулију Леви-Чивити. У тродимензионалном простору означава се са $\varepsilon _{ijk}$. Називају га још и антисиметричним јединичним тензором.

Дефиниција у тродимензионалном простору

У тродимензионалном простору дефинише се као:

$\varepsilon _{ijk}=\varepsilon ^{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{ako je }}(i,j,k){\text{ jednako }}(1,2,3),(3,1,2){\text{ ili }}(2,3,1),\\-1&{\text{ako je }}(i,j,k){\text{ jednako }}(1,3,2),(3,2,1){\text{ ili }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{ako je }}i=j{\text{ ili }}j=k{\text{ ili }}k=i\end{cases}}$

Приказ Леви-Чивита симбола као 3×3×3 матрице

тј. $\varepsilon _{ijk}$ је 1 ако (i, j, k) представља парну пермутацију бројева (1,2,3), једнак је −1 у случају непарних пермутација, а једнак је 0 у случају да се индекси понављају. Леви-Чивита симбол може да се напише и помоћу формуле:

$\varepsilon _{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}$

Дефиниција у четвородимензионалном простору

Дефиниција у четвородимензионалном простору је:

$\varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(i-j\right)\left(i-k\right)\left(i-l\right)\left(j-k\right)\left(j-l\right)\left(k-l\right)}{12}}$

У n-димензионалном простору Леви-Чивита симбол је:

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\varepsilon ^{ijkl\dots }={\begin{cases}+1&{\mbox{ako je }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ je parna permutacija od }}(1,2,3,4,\dots )\\-1&{\mbox{ako je }}(i,j,k,l,\dots ){\mbox{ je neparna permutacija od }}(1,2,3,4,\dots )\\0&{\mbox{inače}}\end{cases}}$

Поопштена формула може да се напише и као:

$\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}=\operatorname {sgn} \!\left(\prod _{i<j}^{n}(a_{j}-a_{i})\right)=\operatorname {sgn} \!\left(\prod _{i=1}^{n-1}\ \prod _{j=i+1}^{n}(a_{j}-a_{i})\right)$

Својства

У две димензије

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta _{i}{}^{m}\delta _{j}{}^{n}-\delta _{i}{}^{n}\delta _{j}{}^{m}$

(1)

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{j}{}^{n}$

(2)

$\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2$

(3)

У три димензије

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}{}^{m}\delta _{k}{}^{n}-\delta _{j}{}^{n}\delta _{k}{}^{m}$

(4)

$\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2\delta _{j}^{i}$

(5)

$\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6$

(6)

Леви-Чивита симбол је повезан са Кронекеровим делта симболом:

${\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\end{aligned}}$

Специјални случај једначине (4) је:

$\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}$

У Ајнштајновој нотацији индекс записан два пута значи сумацију по том индексу, па је једначина једноставнијега записа: $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\,.$

У н димензија

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}{}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}{}^{j_{n}}$

(7)

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}{}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}{}^{j_{n}}$

(8)

$\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!$

(9)

$\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}$.

Примери

Детерминанта матрице 3 × 3 може да се запише помоћу Леви-Чивита симбола:

$\det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

На сличан начин може да се запише и детерминанта n × n матрице:

$\det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},$

Векторски производ два вектора може да се напише као:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k}$

или једноставније;

$(\mathbf {a\times b} )_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

Помоћу Ајнштајнове нотације добија се:

$(\mathbf {a\times b} )^{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.$

Прва компонента је онда:

$(\mathbf {a\times b} )^{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}$.

Исто тако добија се;

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

За ротор векторскога поља добијају се компоненте:

$(\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),$

Литература

• J.R. Tyldesley. An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists. Longman. 1973. ISBN 978-0-582-44355-6.