Холоморфна функција

Холоморфне функције су комплексне функције дефинисане на отвореном подскупу комплексне равни које су диференцијабилне. Функција је холоморфна у некој тачки ако у тој тачки постоји извод те функције и ако је различит од нуле. Функција је холоморфна на некој области ако је холоморфна у свакој тачки те области. Постојање комплексног деривата у близини је веома јак услов, јер имплицира да је свака холоморфна функција заправо бескрајно диференцијабилна и једнака, локално, својој Тејлоровој серији (аналитичка). Холоморфне функције су централни предмети проучавања у комплексној анализи.

Правоугаона мрежа (горе) и његова слика под конформалном мапом f (доле).

Иако се термин аналитичка функција често употребљава синонимно са „холоморфна функција”", реч „аналитичка” је дефинисана у ширем смислу да означи било коју функцију (реалну, комплексну или општији тип) која се може написати као конвергентна степена серија у околини сваке тачке у њеном домену. Чињеница да су све холоморфне функције комплексне аналитичке функције, и обрнуто, главна је теорема у комплексној анализи.

Холоморфне функције се такође понекад називају регуларним функцијама. Холоморфна функција чији је домен цела комплексна раван се назива целокупном функцијом. Фраза „холоморфна у тачки z₀” не значи само диференцијабилна у z₀, већ је диференцијабилна свуда унутар извесне околине z₀ у комплексној равни.

Дефиниција

Функција $f(z)={\bar {z}}$ није комплексно-диференцијабилна у нули, јер као што је приказано изнад, вредност $f(z)-f(0) \over z-0$ варира у зависности од правца из ког се приступа нули. Дуж реалне осе, f је једнако функцији g(z) = z и лимит је 1, док је дуж имагинарне осе, f једнако h(z) = −z и лимит је −1. Други правци дају друге лимите.

За дату функцију комплексне вредности f једне сложене променљиве, дериват од f у тачки z₀ у њеном домену је дефинисан лимесом

$f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.$

То је исто што и дефиниција деривата за реалне функције, осим што су сви квантитети комплексни. Конкретно, граница се узима док се комплексни број z приближава z₀, и мора имати исту вредност за било који низ сложених вредности за z који прилазе z₀ на комплексној равни. Ако граница постоји, каже се да је f комплексно-диференцијабилно у тачки z₀. Овај концепт комплексне диференцијабилности дели неколико својстава са реалном диференцибилношћу: он је линеаран и покорава се правилу производа, правилу квоцијента и ланчаном правилу.

Ако је функција f комплексно диференцијабилна у свакој тачки z₀ у једном отвореном сету U, каже се да је f холоморфна на U. Функција f је холоморфна у тачки z₀, ако је f комплексно диференцијабилна у околини z₀. Функција f је холоморфна на неком затвореном сету A ако је хомоморфна на отвореном сету који садржи A. Као патолошки не-пример, функција дата са z|² је комплексно диференцијабилна у тачно једној тачки (z₀ = 0), и из тог разлога она није холоморфна у 0, јер не постоји отворени сет око 0 на коме је f комплексно диференцијабилна.

Однос између реалне диференцијабилности и комплексне диференцијабилности је следећи. Ако је комплексна функција 1=f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) холоморфна, онда u и v имају прве парцијалне деривате у односу на x и y, и задовољавају Коши-Риманове једначине:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,$

или, еквивалентно, Виртинџеров дериват од f у односу на комплексни коњугат од z је нула:

${\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,$

другим речима f је функционално независна од комплексног коњугата од z.

Ако континуалност није дата, супротно није нужно тачно. Једноставна супротност је да ако u и v имају континуални први парцијални дериват и задовољавају Коши–Риманове једначине, онда је f холоморфна. У већој мери задовољавајућу супротност, која се знатно теже може доказати, даје Луман-Менчофова теорема: ако је f континуирано, u и v имају прве парцијалне деривате (мада нису нужно континуирани), и они задовољавају Коши–Риманове једначине, онда је f холоморфно.

Терминологија

Реч „холоморфан” су увела два Кошијева студента, Бриот (1817–1882) и Буке (1819–1895), и изведена је из грчких речи ὅλος (holos) са значењем „целокупан”, и μορφή (morphē) са значењем „форма” или „изглед”.

У данашње време, термин „холоморфна функција” се донекле преферира у односу на „аналитичка функција”, јер је каснији појам општији концепт. То је исто тако због важног резултата у комплексној анализи да је свака холоморфна функција комплексно аналитичка, што је чињеница која очигледно не следи из дефиниција. Термин „аналитичка” је међутим исто тако у широкој употреби.

Особине

Комплексна диференцијација је линеарна и следи правила производа и количника, и ланчано правило. Стога су суме, производи и композиције холоморфиних функција холоморфне, и количник две холоморфне функције је холоморфан, где год именилац није нула.

Ако се C поистовети са R², онда се холоморфне функције подударају са функцијама са две реалне променљиве са континуираним привим дериватима којима се решавају Коши-Риманове једначине, сетом од две парцијалне диференцијалне једначине.

Свака холоморфна функција се може разложити на њене стварне и имагинарне делове, а сваки од њих је решење Лапласове једначине на R². Другим речима, ако се холоморфна функција ф(з) изрази u(x, y) + i v(x, y), онда су u и v хармоничне функције, где је v хармонични коњугат.

Кошијева интегрална теорема подразумева да контурни интеграл сваке холоморфне функције дуж петље нестаје:

$\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0.$

Овде је γ исправљив пут у једноставно повезаном отвореном подскупу U у комплексној равни C чија почетна тачка је једнака њеној крајњој тачки, и f : U → C је холоморфна функција.

Кошијева интегрална теорема наводи да свака функција холоморфна унутар диска је комплетно одређена својим вредностима на граници диска. Осим тога, ако се претпостави да је U отворени подскуп од C, f : U → C је холоморфна функција и затворени диск 1=D = {z : |z − z₀| ≤ r} је комплетно садржан у U. Нека је γ круг који формира границу D. Онда за свако а у унутрашњости од D:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

где је контурни интеграл узет у смеру супротном казаљкама сата.

Дериват f′(a) се може написати као контурни интеграл користећи Кошијеве формуле диференцијације:

$f'(a)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }{f(z) \over (z-a)^{2}}\,dz,$

за сваку једноставну петљу која се позитивно једном заокреће око а, и

$f'(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)d{\bar {z}},$

за инфинитезимално позитивне петље γ око а.

У регионима где први дериват није једнака нули, холоморфне функције су конформалне у смислу да чувају углове и облик (али не и величине) малих фигура.

Свака холоморфна функција је аналитичка. Другим речима, холоморфна функција f има деривате сваког реда у свакој тачки а у свом домену, и то се подудара са њеном сопственом Тејлоровом серијом у а у близини а. Заправо, f се подудара са њеном Тејлоровом серијом у а у сваком диску центрираном у тој тачки и лежи унутра домене функције.

Са алгебарске тачке гледишта, сет холоморфиних функција на отвореном сету је комутативни прстен и комплексни векторски простор. Додатно, сет холоморфних функција у отвореном сету U је интегрални домен ако и само ако је отворени сет U повезан. Заправо, то је локално конвексан тополошки векторски простор, при чему су семинорме супреме на компактним подсетовима.

Са геометријске перспективе, функција f је холоморфна у z₀ ако и само ако је њен спољашњи дериват df у близини U од z₀ једнак са f′(z) dz за неку континуирану функцију f′. Из

$\textstyle 0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=df^{\prime }\wedge dz$

следи да је df′ исто тако пропорционално са dz, те је стога сам дериват f′ холоморфан и f је бесконачно диференцијабилна. Слично томе, из чињеница да је 1=d(f dz) = f′ dz ∧ dz = 0 следи да било која функција f која је холоморфна на једноставно повезаном региону U је исто тако интеграбилна на U. (За стазу γ од z₀ до z која у потпуности лежи унутар U, дефинисану

$\textstyle F_{\gamma }(z)=F_{0}+\int _{\gamma }fdz$;

у смислу теореме Жорданове криве и генерализоване Стокесове теореме, F_γ(z) је независно од датог избора пута γ, и стога је F(z) добро дефинисана функција унутар U за који је 1=F(z₀) = F₀ и 1=dF = f dz.)

Литература

• Блакеy, Јосепх (1958). Университy Матхематицс (2нд изд.). Лондон: Блацкие анд Сонс. ОЦЛЦ 2370110. 
• Ахлфорс, Ларс V. (1973), Цонформал инвариантс: топицс ин геометриц фунцтион тхеорy, Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., МР 0357743 
• Цонстантин Царатхéодорy (1932) Цонформал Репресентатион, Цамбридге Трацтс ин Матхематицс анд Пхyсицс
• Цхансон, Х. (2009), Апплиед Хyдродyнамицс: Ан Интродуцтион то Идеал анд Реал Флуид Флоwс, ЦРЦ Пресс, Таyлор & Францис Гроуп, Леиден, Тхе Нетхерландс, 478 пагес, ИСБН 978-0-415-49271-3 
• Цхурцхилл, Руел V. (1974), Цомплеx Вариаблес анд Апплицатионс, Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., ИСБН 978-0-07-010855-4 
• Рудин, Wалтер (1987), Реал анд цомплеx аналyсис (3рд изд.), Неw Yорк: МцГраw–Хилл Боок Цо., ИСБН 978-0-07-054234-1, МР 924157 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Аналyтиц фунцтион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104.