Дискретна униформна расподела

У теорији вероватноће и статистици, дискретна униформна расподела је симетрична расподела вероватноће при чему је за коначни број вредности подједнако вероватно да буду уочене; свака од n вредности има једнаку вероватноћу 1/n. Другим речима „дискретна униформна дистрибуција” је „познати, коначни број исхода који су подједнако вероватни да се догоде”.

Дискретна униформна расподела

Функција вероватноће n = 5 где је n = b − a + 1
Функција кумулативне расподеле
Нотација	${\mathcal {U}}\{a,b\}$ или $\mathrm {unif} \{a,b\}$
Параметри	$a\in \{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}\,$ $b\in \{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \},b\geq a$ $n=b-a+1\,$
Носитељ	$k\in \{a,a+1,\dots ,b-1,b\}\,$
пмф	${\frac {1}{n}}$
ЦДФ	${\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{n}}$
Просек	${\frac {a+b}{2}}\,$
Медијана	${\frac {a+b}{2}}\,$
Модус	Н/А
Варијанса	${\frac {(b-a+1)^{2}-1}{12}}$
Коеф. асиметрије	$0\,$
Куртоза	$-{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,$
Ентропија	$\ln(n)\,$
МГФ	${\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,$
ЦФ	${\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}$

Једноставан пример дискретне униформне дистрибуције је бацање коцке. Могуће вредности су 1, 2, 3, 4, 5, 6, и сваки пут када се баци коцка вероватноћа датих резултата је 1/6. Ако се бацају две коцке и додају њихове вредности, резултирајућа расподјела више није униформна, јер сви збирови немају једнаку вероватноћу.

Сама дискретна униформна расподела је инхерентно непараметарска. Прикладно је, међутим, приказати њене вредности генерално свим целим бројевима у интервалу [a,b], тако да a и b постају главни параметри дистрибуције (често се једноставно разматра интервал [1, n] са једним параметром n). Овим конвенцијама може се изразити функција кумулативне дистрибуције (енгл. cumulative distribution function - CDF) дискретне униформне дистрибуције за било које k ∈ [a,b], као

$F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}$

Процена максимума

Главни чланак: Проблем немачких тенкова

Узорак k опажања добијен је из униформне дистрибуције целих бројева $1,2,\dotsc ,N$, с циљем процене непознатог максимума N. Овај проблем је опште познат као немачки тенковски проблем, по примени максималне процене на процену немачке производње тенкова током Другог светског рата.

Непристрасни процењивач униформне минималне варијансе (енгл. Uniformly minimum variance unbiased estimator - UMVU) за максимум је дат са

${\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1$

где је m максимум узорка и k је величина узорка, узоркованог без замене. Ово се може сматрати веома једноставним случајем процене максималног размака.

То има варијансу од

${\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ za male uzorke }}k\ll N$

тако да је стандардна девијација приближно ${\tfrac {N}{k}}$, (популациона) просечна величина размака између узорака; упоредите са ${\tfrac {m}{k}}$ изнад.

Максимум узорка је процењивач максималне вероватноће за популациони максимум, мада, као што је горе дискутовано, он је пристрасан.

Ако узорци нису нумерисани, већ су препознатљиви или маркирани, уместо тога се може проценити величина популације методом означавања и поновног хватања.

Деривација

За неки цео број m такав да је k ≤ m ≤ N, вероватноћа да ће максимални узорак бити једнак m може се израчунати на следећи начин. Број различитих група од k тенкова који се могу начинити од укупно N тенкова дат је биномним коефицијентом ${\tbinom {N}{k}}$. Пошто се у овом начину бројања пермутација тенкова броји само једном, могу се уредити серијски бројеви и узети у обзир максимум сваког узорка. Да би се израчунала вероватноћа, мора се одредити број поређаних узорака који се може формирати са последњим елементом једнаким m, и сви остали k-1 тенкови мањи или једнаки m-1. Број узорака са k-1 тенкова који се могу направити од укупно m-1 тенкова дат је биномним коефицијентом ${\tbinom {m-1}{k-1}}$, тако да је вероватноћа да је максимум m једнака $P(m)={\tbinom {m-1}{k-1}}{\big /}{\tbinom {N}{k}}$.

Ако је дат укупн број N и величина узорка k, очекивана вредност максимума узорка је

${\begin{aligned}\mu =\mathrm {E} [m]&=\sum _{m=k}^{N}m{\frac {\tbinom {m-1}{k-1}}{\tbinom {N}{k}}}\\&={\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\frac {m!}{(m-k)!}}\\&={\frac {k!}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\tbinom {m}{k}}\\&=k{\frac {\tbinom {N+1}{k+1}}{\tbinom {N}{k}}}\\&={\frac {k(N+1)}{k+1}},\end{aligned}}$

где је кориштен идентитет хокејашког штапа $\sum _{m=k}^{N}{\tbinom {m}{k}}={\tbinom {N+1}{k+1}}$.

Из ове једначине, непознати квантитет N се може изразити у облику очекивања и величине узорка као

${\begin{aligned}N&=\mu \left(1+k^{-1}\right)-1.\end{aligned}}$

Из линеарности очекивања се добија да је

${\begin{aligned}\mu \left(1+k^{-1}\right)-1&=\mathrm {E} \left[m\left(1+k^{-1}\right)-1\right],\end{aligned}}$

и стога се непристрасни процењивач од N добија замењивањем очекивања опсервацијом,

${\begin{aligned}{\hat {N}}&=m\left(1+k^{-1}\right)-1.\end{aligned}}$

Осим што је непристрасан овај процењивач такође достиже минималну варијансу. Да би се то показало, прво треба напоменути да је максималан узорак довољна статистичка за максимум популације, јер је вероватноћа P(m;N) изражена само као функција од m. Затим се мора показати да су статистике за m такође комплетне статистике, и посебна врста довољне статистике. Затим Лехман-Шефеова теорема имплицира да је ${\hat {N}}$ минимална процена непристрасне варијансе од N.

Варијанса процењивача израчунава се из варијанце максимума узорка

${\begin{aligned}\mathrm {Var} [{\hat {N}}]&={\frac {(k+1)^{2}}{k^{2}}}\mathrm {Var} [m].\end{aligned}}$

Варијансе максимума се затим израчунава из очекиваних вредности од $m$ и $m^{2}$. Израчунавање очекиване вредности од $m^{2}$ је,

${\begin{aligned}\mathrm {E} [m^{2}]&=\sum _{m=k}^{N}m^{2}{\frac {\tbinom {m-1}{k-1}}{\tbinom {N}{k}}}\\&={\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}m{\frac {m!}{(m-k)!}}\\&={\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}(m+1-1){\frac {m!}{(m-k)!}}\\&={\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\frac {(m+1)!}{(m-k)!}}-{\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\frac {m!}{(m-k)!}}\end{aligned}}$

где је други члан очекивана вредност од $m$. Први члан се може изразити тако да зависи од k и N,

${\begin{aligned}{\frac {1}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\frac {(m+1)!}{(m-k)!}}&={\frac {(k+1)!}{(k-1)!{\tbinom {N}{k}}}}\sum _{m=k}^{N}{\tbinom {m+1}{k+1}}\\&={\frac {k(k+1)}{\tbinom {N}{k}}}\sum _{n=k+1}^{N+1}{\tbinom {n}{k+1}}\\&={\frac {k(k+1)}{\tbinom {N}{k}}}{\tbinom {N+2}{k+2}}\\&={\frac {k(N+2)(N+1)}{(k+2)}}\end{aligned}}$

при чему је направљена замена $n=m+1$ и кориштен је идентитет хокејашког штапа. Замењујући овај резултат и очекивање од $m$ у једначини од $E[m^{2}]$,

${\begin{aligned}\mathrm {E} [m^{2}]&={\frac {k(N+2)(N+1)}{(k+2)}}-{\frac {k(N+1)}{k+1}}\\&=k(N+1){\Big (}{\frac {N+2}{k+2}}-{\frac {1}{k+1}}{\Big )}\\&={\frac {k(N+1)(kN+k+N)}{(k+1)(k+2)}}\end{aligned}}$

Варианса од $m$ се затим добија,

${\begin{aligned}\mathrm {Var} [m]&=\mathrm {E} [m^{2}]-\mathrm {E} [m]^{2}\\&={\frac {k(N+1)}{(k+1)}}{\Big (}{\frac {kN+k+N}{k+2}}-{\frac {k(N+1)}{k+1}}{\Big )}\\&={\frac {k(N+1)}{(k+1)}}{\frac {(N-k)}{(k+2)(k+1)}}\\&={\frac {k(N+1)(N-k)}{(k+1)^{2}(k+2)}}\end{aligned}}$

Коначно варијанса процењивача ${\hat {N}}$ се може израчунати,

${\begin{aligned}\mathrm {Var} [{\hat {N}}]&={\frac {(k+1)^{2}}{k^{2}}}\mathrm {Var} [m]\\&={\frac {(k+1)^{2}}{k^{2}}}{\frac {k(N+1)(N-k)}{(k+1)^{2}(k+2)}}\\&={\frac {(N+1)(N-k)}{k(k+2)}}.\end{aligned}}$

Види још

• Диракова делта функција
• Униформна дистрибуција (континуирана)

Литература

• Анатолyев, Станислав; Косенок, Григорy (2005). „Ан алтернативе то маxимум ликелихоод басед он спацингс” (ПДФ). Ецонометриц Тхеорy. 21 (2): 472—476. ЦитеСеерX 10.1.1.494.7340 . дои:10.1017/С0266466605050255. Архивирано из оригинала (ПДФ) 16. 08. 2011. г. Приступљено 21. 1. 2009. 
• Беирлант, Ј.; Дудеwицз, Е.Ј.; Гyöрфи, L.; ван дер Меулен, Е.C. (1997). „Нонпараметриц ентропy естиматион: ан овервиеw” (ПДФ). Интернатионал Јоурнал оф Матхематицал анд Статистицал Сциенцес. 6 (1): 17—40. ИССН 1055-7490. Архивирано из оригинала (ПДФ) 5. 5. 2005. г. Приступљено 31. 12. 2008. 
• Цхенг, Р.C.Х.; Амин, Н.А.К. (1983). „Естиматинг параметерс ин цонтинуоус унивариате дистрибутионс wитх а схифтед оригин”. Јоурнал оф тхе Роyал Статистицал Социетy, Сериес Б. 45 (3): 394—403. ИССН 0035-9246. ЈСТОР 2345411. дои:10.1111/ј.2517-6161.1983.тб01268.x. 
• Цхенг, Р.C.Х; Степхенс, M. А. (1989). „А гооднесс-оф-фит тест усинг Моран'с статистиц wитх естиматед параметерс”. Биометрика. 76 (2): 386—392. дои:10.1093/биомет/76.2.385. 
• Екстрöм, Магнус (1997). „Генерализед маxимум спацинг естиматес”. Университy оф Умеå, Департмент оф Матхематицс. 6. ИССН 0345-3928. Архивирано из оригинала 14. 2. 2007. г. Приступљено 30. 12. 2008. 
• Халл, M.Ј.; ван ден Боогаард, Х.Ф.П.; Фернандо, Р.C.; Мyнетт, А.Е. (2004). „Тхе цонструцтион оф цонфиденце интервалс фор фреqуенцy аналyсис усинг ресамплинг тецхниqуес”. Хyдрологy анд Еартх Сyстем Сциенцес. 8 (2): 235—246. ИССН 1027-5606. дои:10.5194/хесс-8-235-2004. 
• Пиециак, Томасз (2014). Тхе маxимум спацинг ноисе естиматион ин сингле-цоил бацкгроунд МРИ дата (ПДФ). ИЕЕЕ Интернатионал Цонференце он Имаге Процессинг. Парис. стр. 1743—1747. Приступљено 7. 7. 2015. 
• Пyке, Роналд (1965). „Спацингс”. Јоурнал оф тхе Роyал Статистицал Социетy, Сериес Б. 27 (3): 395—449. ИССН 0035-9246. ЈСТОР 2345793. дои:10.1111/ј.2517-6161.1965.тб00602.x. 
• Раннебy, Бо (1984). „Тхе маxимум спацинг метход. Ан естиматион метход релатед то тхе маxимум ликелихоод метход”. Сцандинавиан Јоурнал оф Статистицс. 11 (2): 93—112. ИССН 0303-6898. ЈСТОР 4615946. 
• Раннебy, Бо; Екстрöм, Магнус (1997). „Маxимум спацинг естиматес басед он дифферент метрицс”. Университy оф Умеå, Департмент оф Матхематицс. 5. ИССН 0345-3928. Архивирано из оригинала 14. 2. 2007. г. Приступљено 30. 12. 2008. 
• Раннебy, Бо; Јаммаламадакаб, С. Рао; Тетеруковскиy, Алеx (2005). „Тхе маxимум спацинг естиматион фор мултивариате обсерватионс” (ПДФ). Јоурнал оф Статистицал Планнинг анд Инференце. 129 (1–2): 427—446. дои:10.1016/ј.јспи.2004.06.059. Приступљено 31. 12. 2008. 
• Wонг, Т.С.Т; Ли, W.К. (2006). „А ноте он тхе естиматион оф еxтреме валуе дистрибутионс усинг маxимум продуцт оф спацингс”. Тиме сериес анд релатед топицс: ин меморy оф Цхинг-Зонг Wеи. Институте оф Матхематицал Статистицс Лецтуре Нотес - Монограпх Сериес. Беацхwоод, Охио: Институте оф Матхематицал Статистиц. стр. 272–283. ИСБН 978-0-940600-68-3. арXив:матх/0702830в1 . дои:10.1214/074921706000001102. 

Спољашње везе

• Дискретна случајна варијабла Архивирано на сајту Wayback Machine (10. август 2019)