Еластичност (физика)

Еластичност (франц. élasticité: растезљивост, гипкост < научни лат. elasticitas, од грч. ἐλαύνεıν: гурати; вући) је својство чврстих тела (материјала) да под утицајем спољашње силе мењају свој облик или запремину и да се, након престанка њеног деловања, враћају у првотан облик. Повезаност напрезања и деформације тела описује Хуков закон.^[1]

Дијаграм затезне чврстоће трговачких челика.

Физички разлози за еластично понашање могу да буду веома различити за различите материјале. Код метала, атомске решетке мењају величину и облик при примени силе (кад се додаје енергија у систем). Кад престане дејство силе, решетка се врача у своје првобитно нискоенергетско стање. Код гуме и других полимера, еластичност је узрокована истезањем полимерних ланаца примењеном силом.

Перфектна еластичност је апроксимација стварног света. Најеластичнија тела у модерној науци су израђена од кварцних влакана и фосфорне бронзе, али чак ни она нису перфектно еластична. Перфектно еластично тело је идеални концепт. Већина материјала који поседују еластична својства у пракси остају еластична само до ступња веома малих деформација. У инжењерству, количина еластичности материјала се одређује помоћу два типа параметара материјала. Први тип параметара се назива модул, и њиме се мери количина силе по јединици површине неопходна да се оствари дата количина деформације. СИ јединица модула је паскал (Pa). Веће вредности модула типично дају индикацију да се материјал теже може деформисати. Други тип параметара мери еластични лимит, максимални стрес који се може јавити у материјалу пре почетка перманентне деформације. Његова СИ јединица је исто тако паскал (Pa).

При описивању релативне еластичности два материјала, разматрају се модули и еластични лимити. Гума типично има низак модул и тежи да се пуно растеже (другим речима, гумени предмети имају висок еластични лимит) и стога је гума еластичнија од метала (високи модули и ниски еластични лимити).

Преглед уреди

Кад се еластични материјал деформише услед дејства спољашње силе, он доживљава унутрашњу отпорност на деформације и враћа је у првобитно стање ако се спољашња сила више не примјењује. Постоје разни модули еластичности, као што је Јангов модул, модул смицања^[2] и модул стишљивости,^[3] сви од којих су мере својствених еластичних карактеристика материјала као отпорности на деформацију под примењеним оптерећењем. Разни модули се користе за различите врсте деформација. На пример, Јангови модули се користе за истезање/компресију тела, док се модули смицања примењују на смицање материјала.^[4] Јангови модули и модули смицања се користе само за чврсте материјале, док су модули стишљивости применљиви за сва агрегатна стања.

Еластичност материјала се описује помоћу дијаграма напрезања,^[5] који приказује релацију између напона (просечне ресторативне унутрашње силе по јединици површине) и напрезања (релативне деформације).^[6] Крива је генерално нелинеарна, али она може да буде апроксимирана (помоћу Тејлорове серије) као линеарна за доволно мале деформације (код којих су чланови вишег реда занемарљиви). Ако је материјал изотропан, линеаризована релација напрезања се назива Хуков закон, за који се обично подразумева да важи до еластичног лимита за већину метала или кристалних материјала, док је нелинеарна еластичност генерално неопходна за моделовање великих деформација или гумених материјала чак и у еластичном опсегу. При још већим напонима, материјали испољавају пластично понашање, то јест, они се неповратно деформишу и не враћају се у свој првобитни облик након што се стрес више не примењује.^[7] За гумасте материјале као што су еластомери, нагиб дијаграма напрезања се повећава са напоном, тако да је гуму прогресивно све теже даље истезати, док се за већину метала градијент смањује при веома високим напонима, тако да они прогресивно постају све растегљивији.^[8] Еластичност не манифестују само чврсти материјали; нењутновски флуиди,^[9] као што су вискоеластични флуиди,^[10] исто тако испољавају еластичност у појединим условима квантификованим Деборовим бројем.^[11]^[12] У респонсу на мала, брзо нанета и уклоњена напрезања, те течности могу да буду деформисане и да се врате у свој првобитни облик. Под већим напрезањима, или напрезањима примењеним током дужих временских периода, ови флуиди могу да почну да теку као вискозне течности.

Хуков закон уреди

Хуков закон је законитост која описује зависност промене облика чврстог тела у облику штапа од деловања спољашње силе, коју је дефинисао Роберт Хук. Оптерећењем изазвано напрезање σ сразмерно је деформацији ε, односно:^[13]^[14]^[15]

\sigma =E\cdot \varepsilon

Фактор пропорционалности Е је модул еластичности и карактеристичан је за поједини материјал. До одређене границе напрезања Хуков закон може се применити на већину конструкцијских материјала. За сложенија оптерећења тела различитих облика користи се Хуков закон у поопштеном облику, који се изражава с више скаларних линеарних једначина. ^[16]

Дијаграм напрезања уреди

Дијаграм напрезања приказује међусобну зависност σ - затезног напрезања и ε - релативног продужења или линијске затезне деформације. У материјалу који је оптерећен неком силом F настају напрезања σ која узрокују његово растезање. Напрезање σ је однос силе F и површине А пресека штапа или шипке (нормалног на смер силе).^[17]

\sigma ={\frac {F}{A}}

Због деловања силе F (а тиме насталог напрезања σ) штап или шипка ће се од почетне дужине L₀ растегнути на дужину L. Тако је продужење штапа или шипке:

\varepsilon ={\frac {\Delta L}{L_{0}}}={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}

Релативно продужење ε (дужинска или уздужна деформација) штапа или шипке је продужење с обзиром на почетну дужину L_o. Почетно је напрезање линеарно (деформација је директно сразмерна напрезању). У подручју линеарног растезања (Хуков закон) материјал је еластичан и након престанка деловања силе, односно напрезања, он се враћа у почетно стање. Јангов модул еластичности је однос напрезања и релативног продужења (у подручју еластичности).^[18]

Техничка граница еластичности је напрезање при којем осетљиви инструменти за мерење осете прво приметно трајно продужење материјала (при још непромењеном пресеку А_о). Након те границе (обично на крају линеарног растезања) материјал се растеже пластично и након престанка деловања силе не враћа се више на почетну дужину L₀, већ остаје одређено трајно продужење, уз сужење пресека, А < А₀).

Коначна еластичност уреди

Еластично понашање објеката који подлежу коначним деформацијама описано је помоћу низа модела, као што су Кошијеви модели еластичних материјала, модели хипоеластичних материјала и модели хипереластичних материјала. Градијент деформације (Ф) је примарна мера деформације која се користи у теорији коначних напрезања.

Кошијеви еластични материјали уреди

За материјал се каже да је Коши-еластичан ако је Кошијев тензор напрезања σ функција само градијента деформације F:

\ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})

Генерално је погрешно да се тврди да је Кошијев стрес функција само тензора напрезања, јер таквом моделу недостају кључне информације о ротацији материјала потребне за формулисање исправних резултата за анизотропни медијум подвргнут вертикалном издужењу у односу на исто издуживање примењено хоризонтално и затим подвргнуто ротацији за 90 степени; обе ове деформације имају исте тензоре просторног напрезања, али морају произвести различите вредности Кошијевог тензора напрезања.

Иако напон у Кошијевом еластичном материјалу зависи само од стања деформације, рад који врше напрезања може зависити од путање деформације. Стога, Кошијева еластичност обухвата неконзервативне „нехипереластичне” моделе (у којима рад деформације зависи од путање) као и конзервативне моделе „хипереластичног материјала” (за које се напон може извести из скаларне функције „еластичног потенцијала”).

Хипоеластични материјали уреди

Хипоеластични материјали могу се строго дефинисати као они који се моделују употребом конститутивне једначине која задовољава следећа два критеријума:^[19]

1. Кошијев стрес ${\boldsymbol {\sigma }}$ у времену $t$ зависи само од редоследа у коме је тело заузело своје претходне конфигурације, али не и временске стопе којом су те претходне конфигурације мењане. Као посебан случај, овај критеријум укључује Кошијев еластични материјал, за који тренутни напон зависи само од тренутне конфигурације, а не од историје прошлих конфигурација.

2. Постоји тензорска функција $G$ таква да је ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}=G({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {L}})\,,$ у којој је ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ стопа материјала Кошијевог тензора напрезања, и ${\boldsymbol {L}}$ је просторни градијент брзине тензора.

Ако би се за дефинисање хипоеластичности користила само ова два оригинална критеријума, тада би хипереластичност била укључена као посебан случај, из ког разлога се додаје трећи критеријум који специфично захтева да хипоеластични модел не буде хипереластичан (тј. да хипоеластичност подразумева да се стрес не може извести из енергетског потенцијала). Ако се усвоји овај трећи критеријум, следи да хипоеластични материјал може прихватити неконзервативне адијабатске путеве оптерећења који почињу и завршавају истим градијентом деформације, али не започињу и завршавају се истом унутарњом енергијом.

Потребно је имати на уму да други критеријум захтева само постојање функције $G$ . Као што је детаљно приказано у главном чланку о хипоеластичном материјалу, специфичне формулације хипоеластичних модела обично користе такозване објективне стопе тако да функција $G$ постоји само имплицитно и обично је потребна изричито само за нумеричке исправке напона које се изводе директном интеграцијом стварне (не објективне) стопе стреса.

Хипереластични материјали уреди

Хипереластични материјали (такође звани Гринови еластични материјали) су конзервативни модели који су изведени из функција густине енергије деформације (W). Модел је хипереластичан ако и само ако је могуће изразити Кошијев тензор напрезања као функцију градијента деформације односом облика

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}\quad {\text{gde je}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

Ова формулација узима енергетски потенцијал (W) као функцију градијента деформације ( ${\boldsymbol {F}}$ ). Такође захтевањем задовољавања материјалне објективности, енергетски потенцијал се алтернативно може сматрати функцијом Коши-Грин деформационог тензора ( ${\boldsymbol {C}}:={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}$ ), у том случају хипереластични модел може бити написан алтернативно као

{\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}{\boldsymbol {F}}^{T}\quad {\text{gde je}}\quad J:=\det {\boldsymbol {F}}\,.

Референце уреди

^ Еластичност, [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (11. новембар 2017) "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.
^ IUPAC. „shear modulus, G”. Kompendijum hemijske terminologije (Internet izdanje).
^ „Bulk Elastic Properties”. hyperphysics. Georgia State University.
^ Landau LD, Lipshitz EM. Theory of Elasticity, 3rd Edition, 1970: 1–172.
^ Luebkeman, C., & Peting, D. (2012, 04 28). Stress–strain curves. Retrieved from http://pages.uoregon.edu/struct/courseware/461/461_lectures/461_lecture24/461_lecture24.html Архивирано на сајту Wayback Machine (26. јун 2012).
^ Трелоар, L. Р. Г. (1975). Тхе Пхyсицс оф Руббер Еластицитy. Оxфорд: Цларендон Пресс. стр. 2. ИСБН 978-0-1985-1355-1.
^ Садд, Мартин Х. (2005). Еластицитy: Тхеорy, Апплицатионс, анд Нумерицс. Оxфорд: Елсевиер. стр. 70. ИСБН 978-0-1237-4446-3.
^ де Wитх, Гијсбертус (2006). Струцтуре, Деформатион, анд Интегритy оф Материалс, Волуме I: Фундаменталс анд Еластицитy. Wеинхеим: Wилеy ВЦХ. стр. 32. ИСБН 978-3-527-31426-3.
^ Тропеа, Цамерон; Yарин, Алеxандер L.; Фосс, Јохн Ф. (2007). Спрингер хандбоок оф еxпериментал флуид мецханицс. Спрингер. ИСБН 978-3-540-25141-5.
^ Меyерс анд Цхаwла (1999): "Мецханицал Бехавиор оф Материалс", 98-103.
^ Реинер, M. (1964), „Тхе Деборах Нумбер”, Пхyсицс Тодаy, 17 (1): 62, Бибцоде:1964ПхТ....17а..62Р, дои:10.1063/1.3051374
^ Тхе Деборах Нумбер Архивирано 2011-04-13 на сајту Wayback Machine
^ Атанацковиц, Теодор M.; Гуран, Ардéсхир (2000). „Хооке'с лаw”. Тхеорy оф еластицитy фор сциентистс анд енгинеерс. Бостон, Масс.: Биркхäусер. стр. 85. ИСБН 978-0-8176-4072-9.
^ „Стренгтх анд Десигн”. Центуриес оф Цивил Енгинееринг: А Раре Боок Еxхибитион Целебратинг тхе Херитаге оф Цивил Енгинееринг. Линда Халл Либрарy оф Сциенце, Енгинееринг & Тецхнологy. Архивирано из оригинала 13. 11. 2010. г.
^ Бигони, D. Нонлинеар Солид Мецханицс: Бифурцатион Тхеорy анд Материал Инстабилитy. Цамбридге Университy Пресс, 2012 . ISBN 9781107025417.
^ Hukeov zakon, [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (21. јануар 2019) "Хрватска енциклопедија", Лексикографски завод Мирослав Крлежа, www.енциклопедија.хр, 2015.
^ "Елементи стројева" Архивирано на сајту Wayback Machine (31. јануар 2012), Факултет електротехнике, стројарства и бродоградње Сплит, Проф. др. сц. Дамир Јеласка, 2011.
^ "Конструкцијски елементи I" Архивирано на сајту Wayback Machine (28. фебруар 2017), Технички факултет Ријека, Божидар Крижан и Саша Зеленика, 2011.
^ Труесделл, Цлиффорд; Нолл, Wалтер (2004). Тхе Нон-линеар Фиелд Тхеориес оф Мецханицс (3рд изд.). Берлин Хеиделберг Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. стр. 401. ИСБН 978-3-540-02779-9.

[1] Еластичност, [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (11. новембар 2017) "Hrvatska enciklopedija", Leksikografski zavod Miroslav Krleža, www.enciklopedija.hr, 2015.

[2] IUPAC. „shear modulus, G”. Kompendijum hemijske terminologije (Internet izdanje).

[3] „Bulk Elastic Properties”. hyperphysics. Georgia State University.

[4] Landau LD, Lipshitz EM. Theory of Elasticity, 3rd Edition, 1970: 1–172.

[5] Luebkeman, C., & Peting, D. (2012, 04 28). Stress–strain curves. Retrieved from http://pages.uoregon.edu/struct/courseware/461/461_lectures/461_lecture24/461_lecture24.html Архивирано на сајту Wayback Machine (26. јун 2012).

[6] Трелоар, L. Р. Г. (1975). Тхе Пхyсицс оф Руббер Еластицитy. Оxфорд: Цларендон Пресс. стр. 2. ИСБН 978-0-1985-1355-1.

[7] Садд, Мартин Х. (2005). Еластицитy: Тхеорy, Апплицатионс, анд Нумерицс. Оxфорд: Елсевиер. стр. 70. ИСБН 978-0-1237-4446-3.

[8] де Wитх, Гијсбертус (2006). Струцтуре, Деформатион, анд Интегритy оф Материалс, Волуме I: Фундаменталс анд Еластицитy. Wеинхеим: Wилеy ВЦХ. стр. 32. ИСБН 978-3-527-31426-3.

[springer2-9] Тропеа, Цамерон; Yарин, Алеxандер L.; Фосс, Јохн Ф. (2007). Спрингер хандбоок оф еxпериментал флуид мецханицс. Спрингер. ИСБН 978-3-540-25141-5.

[Meyers-10] Меyерс анд Цхаwла (1999): "Мецханицал Бехавиор оф Материалс", 98-103.

[Reiner1964-11] Реинер, M. (1964), „Тхе Деборах Нумбер”, Пхyсицс Тодаy, 17 (1): 62, Бибцоде:1964ПхТ....17а..62Р, дои:10.1063/1.3051374

[12] Тхе Деборах Нумбер Архивирано 2011-04-13 на сајту Wayback Machine

[13] Атанацковиц, Теодор M.; Гуран, Ардéсхир (2000). „Хооке'с лаw”. Тхеорy оф еластицитy фор сциентистс анд енгинеерс. Бостон, Масс.: Биркхäусер. стр. 85. ИСБН 978-0-8176-4072-9.

[14] „Стренгтх анд Десигн”. Центуриес оф Цивил Енгинееринг: А Раре Боок Еxхибитион Целебратинг тхе Херитаге оф Цивил Енгинееринг. Линда Халл Либрарy оф Сциенце, Енгинееринг & Тецхнологy. Архивирано из оригинала 13. 11. 2010. г.

[15] Бигони, D. Нонлинеар Солид Мецханицс: Бифурцатион Тхеорy анд Материал Инстабилитy. Цамбридге Университy Пресс, 2012 . ISBN 9781107025417.

[16] Hukeov zakon, [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (21. јануар 2019) "Хрватска енциклопедија", Лексикографски завод Мирослав Крлежа, www.енциклопедија.хр, 2015.

[17] "Елементи стројева" Архивирано на сајту Wayback Machine (31. јануар 2012), Факултет електротехнике, стројарства и бродоградње Сплит, Проф. др. сц. Дамир Јеласка, 2011.

[18] "Конструкцијски елементи I" Архивирано на сајту Wayback Machine (28. фебруар 2017), Технички факултет Ријека, Божидар Крижан и Саша Зеленика, 2011.

[19] Труесделл, Цлиффорд; Нолл, Wалтер (2004). Тхе Нон-линеар Фиелд Тхеориес оф Мецханицс (3рд изд.). Берлин Хеиделберг Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. стр. 401. ИСБН 978-3-540-02779-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]