Хомологија (математика)

У математици, хомологија[1] је општи начин повезивања низа алгебарских објеката као што су абелове групе или модули са другим математичким објектима као што су тополошки простори. Хомолошке групе су првобитно дефинисане у алгебарској топологији. Сличне конструкције су доступне у широком спектру других контекста, као што су апстрактна алгебра, групе, Лијева алгебра, теорија Галоа и алгебарска геометрија.

Првобитна мотивација за дефинисање група хомологије била је опсервација да се два облика могу разликовати путем испитивања њихових отвора. На пример, круг није диск, јер круг има отвор кроз њега док је диск пун, а обична сфера није круг, јер сфера окружује дводимензионални отвор, док круг окружује једнодимензионални отвор. Међутим, пошто је отвор „не постоји”, није одмах очигледно како дефинисати отвор или како разликовати различите врсте отвора. Хомологија је изворно била ригорозна математичка метода за дефинирање и категоризацију отвора у многострукости. Слободно говорећи, циклус је затворена подмногострукост, граница је циклус који је такође граница подмногострукости, а класа хомологије (која представља отвор) је еквивалентна класи циклуса по модуларним границама. Класа хомологије је стога представљена циклусом који није граница било које подмногострукости: циклус представља отвор, односно хипотетичну многострукост чија би граница била тај циклус, али који „није тамо”.

Постоји много различитих теорија хомологије. Одређени тип математичког објекта, као што је тополошки простор или група, може имати једну или више повезаних теорија хомологије. Када основни објекат има геометријску интерпретацију као тополошки простори, n-та група хомологије представља понашање у димензији n. Већина група или модула хомологије моге се формулисати као изведени функтори на одговарајућим Абеловским категоријама, мерењем неуспеха једног функтора да буде тачан. Из ове апстрактне перспективе, групе хомологије се одређују објектима изведене категорије.

ПозадинаУреди

ПореклоУреди

Сматра се да је теорија хомологије настала са Ојлеровом формулом полиедра, или Ојлеровом карактеристиком.[2] Томо је следела Риманова дефиниција нумеричких инваријанти родова и н-тоструке повезаности иy 1857. године и Бетијев доказ независности „хомолошких бројева” од избора базе из 1871. године.[3]

Сама хомологија је развијена као начин за анализу и класификацију многострукости према њиховим циклусима - затвореним петљама (или општије подмногострукостима) које се могу нацртати на датој н-димензионалној многострукости, али не и континуирано деформисаних једне у друге.[4] Ови циклуси се понекад помињу и као резови који се могу спојити заједно или као спојеви који се могу причврстити и одвојити. Циклуси су класификовани по димензијама. На пример, линија нацртана на површини представља 1-циклус, затворену петљу или   (1-многострукост), док је површина пререзана кроз тродимензионалну многострукост 2-циклус.

ПовршинеУреди

 
Циклуси на 2-сфери

На обичној сфери  , циклус б у дијаграму може се смањити до пола, а чак и екваторијална велика кружница а може се смањити на исти начин. Теорема Жорданове криве показује да се било који произвољни циклус, као што је ц, може слично смањити до тачке. Сви циклуси на сфери се стога могу континуирано трансформисати један у други и припадати истој класи хомологије. За њих се каже да су хомологни до нуле. Пресецање многострукости дуж циклуса хомологног нули раздваја многострукост на две или више компоненти. На пример, сечење сфере дуж а производи две хемисфере.

 
Циклуси на торусу

Ово се генерално не односи на циклусе на другим површинама. Торус   има циклусе који се не могу континуирано деформирати један у други, на пример у дијаграму ни један од циклуса a, b или c не може бити деформисан један у други. Конкретно, циклуси a и b се не могу смањити у тачку, док циклус c може, што га чини хомологним на нулу.

Ако је површина торуса исечена дуж оба циклуса а и б, она се може отворити и спљоштити у правоугаоник или, још боље, квадрат. Један супротан пар страна представља рез дуж а, а други супротан пар представља рез дуж б.

Рубови квадрата могу се затим спојити заједно на различите начине. Квадрат може бити заокренут да би се ивице могле сусрести у супротном смеру, као што је приказано стрелицама на дијаграму. У зависности од симетрије, постоје четири различита начина спајања страна, од којих свака ствара различиту површину:

 
Четири начина спајања квадрата да би се направила затворена површина: спојити појединачне стрелице и спојити дупле стрелице.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ ин парт фром Греек ὁμός хомос "идентицал"
  2. ^ Стиллwелл 1993, стр. 170
  3. ^ Wеибел 1999, стр. 2–3 (ин ПДФ)
  4. ^ Рицхесон 2008, стр. 254

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди