Хомологија (математика)

За друге употребе, погледајте Хомологија (вишезначна одредница).

У математици, хомологија је општи начин повезивања низа алгебарских објеката као што су абелове групе или модули са другим математичким објектима као што су тополошки простори. Хомолошке групе су првобитно дефинисане у алгебарској топологији. Сличне конструкције су доступне у широком спектру других контекста, као што су апстрактна алгебра, групе, Лијева алгебра, теорија Галоа и алгебарска геометрија.

Првобитна мотивација за дефинисање група хомологије била је опсервација да се два облика могу разликовати путем испитивања њихових отвора. На пример, круг није диск, јер круг има отвор кроз њега док је диск пун, а обична сфера није круг, јер сфера окружује дводимензионални отвор, док круг окружује једнодимензионални отвор. Међутим, пошто је отвор „не постоји”, није одмах очигледно како дефинисати отвор или како разликовати различите врсте отвора. Хомологија је изворно била ригорозна математичка метода за дефинирање и категоризацију отвора у многострукости. Слободно говорећи, циклус је затворена подмногострукост, граница је циклус који је такође граница подмногострукости, а класа хомологије (која представља отвор) је еквивалентна класи циклуса по модуларним границама. Класа хомологије је стога представљена циклусом који није граница било које подмногострукости: циклус представља отвор, односно хипотетичну многострукост чија би граница била тај циклус, али који „није тамо”.

Постоји много различитих теорија хомологије. Одређени тип математичког објекта, као што је тополошки простор или група, може имати једну или више повезаних теорија хомологије. Када основни објекат има геометријску интерпретацију као тополошки простори, n-та група хомологије представља понашање у димензији n. Већина група или модула хомологије моге се формулисати као изведени функтори на одговарајућим Абеловским категоријама, мерењем неуспеха једног функтора да буде тачан. Из ове апстрактне перспективе, групе хомологије се одређују објектима изведене категорије.

Позадина

Порекло

Сматра се да је теорија хомологије настала са Ојлеровом формулом полиедра, или Ојлеровом карактеристиком. Томо је следела Риманова дефиниција нумеричких инваријанти родова и н-тоструке повезаности иy 1857. године и Бетијев доказ независности „хомолошких бројева” од избора базе из 1871. године.

Сама хомологија је развијена као начин за анализу и класификацију многострукости према њиховим циклусима - затвореним петљама (или општије подмногострукостима) које се могу нацртати на датој н-димензионалној многострукости, али не и континуирано деформисаних једне у друге. Ови циклуси се понекад помињу и као резови који се могу спојити заједно или као спојеви који се могу причврстити и одвојити. Циклуси су класификовани по димензијама. На пример, линија нацртана на површини представља 1-циклус, затворену петљу или $S^{1}$ (1-многострукост), док је површина пререзана кроз тродимензионалну многострукост 2-циклус.

Површине

Циклуси на 2-сфери

На обичној сфери $S^{2}$, циклус б у дијаграму може се смањити до пола, а чак и екваторијална велика кружница а може се смањити на исти начин. Теорема Жорданове криве показује да се било који произвољни циклус, као што је ц, може слично смањити до тачке. Сви циклуси на сфери се стога могу континуирано трансформисати један у други и припадати истој класи хомологије. За њих се каже да су хомологни до нуле. Пресецање многострукости дуж циклуса хомологног нули раздваја многострукост на две или више компоненти. На пример, сечење сфере дуж а производи две хемисфере.

Циклуси на торусу

Ово се генерално не односи на циклусе на другим површинама. Торус $T^{2}$ има циклусе који се не могу континуирано деформирати један у други, на пример у дијаграму ни један од циклуса a, b или c не може бити деформисан један у други. Конкретно, циклуси a и b се не могу смањити у тачку, док циклус c може, што га чини хомологним на нулу.

Ако је површина торуса исечена дуж оба циклуса а и б, она се може отворити и спљоштити у правоугаоник или, још боље, квадрат. Један супротан пар страна представља рез дуж а, а други супротан пар представља рез дуж б.

Рубови квадрата могу се затим спојити заједно на различите начине. Квадрат може бити заокренут да би се ивице могле сусрести у супротном смеру, као што је приказано стрелицама на дијаграму. У зависности од симетрије, постоје четири различита начина спајања страна, од којих свака ствара различиту површину:

Четири начина спајања квадрата да би се направила затворена површина: спојити појединачне стрелице и спојити дупле стрелице.

Види још

• Бетијев број
• Кружни простор
• Ејленберг-Стинродови аксиоми
• Кохомологија
• Хомолошка алгебра
• Хомолошке претпоставке у комутативној алгебри
• Кинетова теорема
• Списак кохомолошких теорија
• Де Рамова кохомологија

Литература

• Цартан, Хенри Паул анд Еиленберг, Самуел (1956) Хомологицал Алгебра Принцетон Университy Пресс, Принцетон, Њ, ОЦЛЦ 529171
• Еиленберг, Самуел анд Мооре, Ј. C. (1965) Фоундатионс оф релативе хомологицал алгебра (Мемоирс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy нумбер 55) Америцан Матхематицал Социетy, Провиденце, Р.I., ОЦЛЦ 1361982
• Хомологy гроуп ат Енцyцлопаедиа оф Матхематицс
• Хилтон, Петер (1988), „А Бриеф, Субјецтиве Хисторy оф Хомологy анд Хомотопy Тхеорy ин Тхис Центурy”, Матхематицс Магазине, Матхематицал Ассоциатион оф Америца, 60 (5): 282—291, ЈСТОР 2689545, дои:10.1080/0025570X.1988.11977391 
• Теицхер, M., ур. (1999), Тхе Херитаге оф Еммy Ноетхер, Исраел Матхематицал Цонференце Процеедингс, Бар-Илан Университy/Америцан Матхематицал Социетy/Оxфорд Университy Пресс, ИСБН 978-0-19-851045-1, ОЦЛЦ 223099225 
• Рицхесон, D.; Еулер'с Гем: Тхе Полyхедрон Формула анд тхе Биртх оф Топологy, Принцетон Университy (2008)
• Спаниер, Едwин Х. (1966). Алгебраиц Топологy, Спрингер, п. 155,. ISBN 0-387-90646-0.
• Тимотхy Гоwерс, Јуне Барроw-Греен, Имре Леадер (2010), Тхе Принцетон Цомпанион то Матхематицс, Принцетон Университy Пресс, ISBN 9781400830398.
• Стиллwелл, Јохн (1993). „Хомологy Тхеорy анд Абелианизатион”. Цлассицал Топологy анд Цомбинаториал Гроуп Тхеорy. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 72. Спрингер. стр. 169—184. ИСБН 978-0-387-97970-0. дои:10.1007/978-1-4612-4372-4_6. 
• Цхарлес А. Wеибел (1999), Хисторy оф Хомологицал Алгебра, цхаптер 28 ин тхе боок Хисторy оф Топологy бy I.M. Јамес, Елсевиер, ISBN 9780080534077.
• Аллегретти, Дyлан Г. L. (2008), Симплициал Сетс анд ван Кампен'с Тхеорем  (Дисцуссес генерализед версионс оф ван Кампен'с тхеорем апплиед то топологицал спацес анд симплициал сетс).
• Бредон, Глен Е. (1993), Топологy анд Геометрy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 139, Спрингер, ИСБН 0-387-97926-3 .
• Броwн, Р. (2007), Хигхер дименсионал гроуп тхеорy, Архивирано из оригинала 14. 05. 2016. г., Приступљено 26. 06. 2023  (Гивес а броад виеw оф хигхер-дименсионал ван Кампен тхеоремс инволвинг мултипле гроупоидс).
• Броwн, Р.; Разак, А. (1984), „А ван Кампен тхеорем фор унионс оф нон-цоннецтед спацес”, Арцх. Матх., 42: 85—88, С2ЦИД 122228464, дои:10.1007/БФ01198133 . "Гивес а генерал тхеорем он тхе фундаментал гроупоид wитх а сет оф басе поинтс оф а спаце wхицх ис тхе унион оф опен сетс."
• Броwн, Р.; Хардие, К.; Кампс, Х.; Портер, Т. (2002), „Тхе хомотопy доубле гроупоид оф а Хаусдорфф спаце”, Тхеорy Аппл. Цатегориес, 10 (2): 71—93 .
• Броwн, Р.; Хиггинс, П.Ј. (1978), „Он тхе цоннецтион бетwеен тхе сецонд релативе хомотопy гроупс оф соме релатед спацес”, Проц. Лондон Матх. Соц., С3-36 (2): 193—212, дои:10.1112/плмс/с3-36.2.193 . "Тхе фирст 2-дименсионал версион оф ван Кампен'с тхеорем."
• Броwн, Роналд; Хиггинс, Пхилип Ј.; Сивера, Рафаел (2011), Нонабелиан Алгебраиц Топологy: Филтеред Спацес, Цроссед Цомплеxес, Цубицал Хомотопy Гроупоидс, Еуропеан Матхематицал Социетy Трацтс ин Матхематицс, 15, Еуропеан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-3-03719-083-8, арXив:матх/0407275 , Архивирано из оригинала 2009-06-04. г.  Тхис провидес а хомотопy тхеоретиц аппроацх то басиц алгебраиц топологy, wитхоут неединг а басис ин сингулар хомологy, ор тхе метход оф симплициал аппроxиматион. Ит цонтаинс а лот оф материал он цроссед модулес.
• Фралеигх, Јохн Б. (1976), А Фирст Цоурсе Ин Абстрацт Алгебра (2нд изд.), Реадинг: Аддисон-Wеслеy, ИСБН 0-201-01984-1 
• Греенберг, Марвин Ј.; Харпер, Јохн Р. (1981), Алгебраиц Топологy: А Фирст Цоурсе, Ревисед едитион, Матхематицс Лецтуре Ноте Сериес, Wествиеw/Персеус, ИСБН 9780805335576 . А фунцториал, алгебраиц аппроацх оригиналлy бy Греенберг wитх геометриц флаворинг аддед бy Харпер.
• Хатцхер, Аллен (2002), Алгебраиц Топологy, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 0-521-79540-0 . А модерн, геометрицаллy флавоуред интродуцтион то алгебраиц топологy.
• Хиггинс, Пхилип Ј. (1971), Нотес он цатегориес анд гроупоидс, Ван Ностранд Реинхолд, ИСБН 9780442034061 
• Маундер, C. Р. Ф. (1970), Алгебраиц Топологy, Лондон: Ван Ностранд Реинхолд, ИСБН 0-486-69131-4 .
• том Диецк, Таммо (2008), Алгебраиц Топологy, ЕМС Теxтбоокс ин Матхематицс, Еуропеан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-3-03719-048-7 
• ван Кампен, Егберт (1933), „Он тхе цоннецтион бетwеен тхе фундаментал гроупс оф соме релатед спацес”, Америцан Јоурнал оф Матхематицс, 55 (1): 261—7, ЈСТОР 51000091 
• Хатцхер, Аллен (2002). Алгебраиц топологy. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 0-521-79160-X.  анд ISBN 0-521-79540-0.
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Алгебраиц топологy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• May, J. Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). University of Chicago Press. Архивирано (PDF) из оригинала 2022-10-09. г. Приступљено 2008-09-27. 
• Cayley, A. (1854). „On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θⁿ = 1”. Philosophical Magazine. 4th series. 7 (42): 40—47. doi:10.1080/14786445408647421. 
• Kronecker, Leopold (1895). „Auseinandeesetzung einiger eigenschaften der klassenanzahl idealer complexer zahlen” [An exposition of some properties of the class number of ideal complex numbers]. Ур.: Hensel, Kurt. Leopold Kronecker's werke : Herausgegeben auf veranlassung der Königlich preussischen akademie der wissenschaften. Leipzig ; Berlin : B.G. Teubner. стр. 275. 
• Frobenius, G. (април 2008). Превод: Gutfraind, Sasha. „Neuer Beweis des Sylowschen Satzes” [New Proof of Sylow's Theorem] (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik (на језику: немачки). 1887 (100): 179—181. S2CID 117970003. doi:10.1515/crll.1887.100.179. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Beltiţă, Daniel (2006). Smooth Homogeneous Structures in Operator Theory. CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics. 137. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6. MR 2188389. 
• Boza, Luis; Fedriani, Eugenio M.; Núñez, Juan (2001-06-01). „A new method for classifying complex filiform Lie algebras”. Applied Mathematics and Computation. 121 (2–3): 169—175. ISSN 0096-3003. doi:10.1016/s0096-3003(99)00270-2. 
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A (2007). The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-032-6. 
• Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (2nd изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7. 
• Jacobson, Nathan (1979) [1962]. Lie algebras. Dover. ISBN 978-0-486-63832-4. 
• Kac, Victor G.; et al. Course notes for MIT 18.745: Introduction to Lie Algebras. Архивирано из оригинала 2010-04-20. г. CS1 одржавање: BOT: статус параметра оригинални-URL непознат (веза)
• Mubarakzyanov, G.M. (1963). „On solvable Lie algebras”. Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (на језику: руски). 1 (32): 114—123. MR 153714. Zbl 0166.04104. 
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2000). „Biography of Sophus Lie”. MacTutor History of Mathematics Archive. 
• O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (2005). „Biography of Wilhelm Killing”. MacTutor History of Mathematics Archive. 
• Popovych, R.O.; Boyko, V.M.; Nesterenko, M.O.; Lutfullin, M.W.; et al. (2003). „Реализатионс оф реал лоw-дименсионал Лие алгебрас”. Ј. Пхyс. А: Матх. Ген. 36 (26): 7337—60. Бибцоде:2003ЈПхА...36.7337П. С2ЦИД 9800361. арXив:матх-пх/0301029 . дои:10.1088/0305-4470/36/26/309. 
• Серре, Јеан-Пиерре (2006). Лие Алгебрас анд Лие Гроупс (2нд изд.). Спрингер. ИСБН 978-3-540-55008-2. 
• Стееб, Wилли-Ханс (2007). Цонтинуоус Сyмметриес, Лие Алгебрас, Дифферентиал Еqуатионс анд Цомпутер Алгебра (2нд изд.). Wорлд Сциентифиц. ИСБН 978-981-270-809-0. МР 2382250. дои:10.1142/6515. 
• Варадарајан, Вееравалли С. (2004). Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Тхеир Репресентатионс (1ст изд.). Спрингер. ИСБН 978-0-387-90969-1.