Ajnštajnova notacija

U linearnoj algebri, i posebno u oblastima fizike koje je koriste, Ajnštajnova notacija ili sumaciona konvencija je konvencija u matematičkoj notaciji pri kojoj se podrazumeva, osim ukoliko nije eksplicitno drugačije napomenuto, sumacija po indeksima koji su ponovljeni, pa se simbol za sumu izostavlja. U opštem slučaju, kada se radi o kovarijantnim i kontravarijantnim veličinama, sumacija se podrazumeva po ponovljenim gornjim (kontravarijantnim) i donjim (kovarijantnim) indeksima. Konvencija je dobila ime po Albertu Ajnštajnu koji ju je uveo 1916. godine u radu u kome je izložio osnove opšte teorije relativnosti kako bi uprostio notaciju operacija sa tenzorima. Zabeležena je anegdota u kojoj se Ajnštajn našalio u pismu jednom prijatelju:

Napravio sam veliko otkriće u matematici; ukinuo sam znak za sumaciju svaki put kada se sumira po indeksu koji se dva puta ponavlja...

Definicija

Često javlja slučaj kada se sumiraju promenljive po indeksu koji se ponavlja pa je ekonomično izostaviti znak za sumaciju:

$\sum _{i}x_{i}y_{i}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,x_{i}y_{i}.$

U ovoj formi, gde se radi o oba donja indeksa, može se primeniti u opštem slučaju kada se radi o bilo kakvoj sumaciji, mada to nije uobičajeno, već se ova konvencija koristi uglavnom kada se sumiraju komponente tenzora pa se onda mora voditi računa o načinu na koji se te komponente transformišu pri promeni bazisa. Tada se kovarijantne komponente pišu sa donjim indeksom, a kontravarijantne sa gornjim indeksom, pa pravilo u ovom slučaju predviđa da se podrazumeva sumiranje samo po ponovljenom gornjem i donjem indeksu:

$\sum _{i}x_{i}y^{i}\,{\overset {\text{def}}{=}}\,x_{i}y^{i}.$

Ova razlika se može ignorisati jedino kada se radi u prostoru nad poljem realnih brojeva sa fiksiranim bazisom, pa se tada mogu koristiti samo donji indeksi.

Primeri

Ukoliko je dat bazis vektorskog prostora $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$, vektor x u tom bazisu može da se reprezentuje brojnom kolonom čiji su elementi koordinate vektora

$x=\left({\begin{array}{c}\alpha ^{1}\\\vdots \\\alpha ^{n}\end{array}}\right).$

Tada vektor x može da se izrazi preko vektorskog zbira bazisnih vektora pomnoženih koordinatama, što u Ajnštajnovoj notaciji ima oblik

$x=\alpha ^{i}b_{i},\,$

što bi, u uobičajenoj notaciji vektora kao zbira skaliranih bazisnih vektora i ignorišući kontravarijantnost koordinata, bilo

$x=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.$

Standardni skalarni proizvod vektora x i y, u apsolutnom bazisu, u Ajnštajnovoj notaciji je

$\langle x,y\rangle =\alpha _{i}\beta ^{i},$

gde su α_i i β_i koordinate vektora x i y, respektivno, ili uopšteno za proizvoljan bazis u unitarnom prostoru

$\langle x,y\rangle =\alpha ^{i^{*}}g_{ij}\beta ^{j},$

gde je $g_{ij}$ metrički tenzor, a zvezdica označava kompleksno konjugovan broj. Konvencionalno napisano, ovo u stvari znači

$\langle x,y\rangle =\sum _{i}\sum _{j}\alpha _{i}^{*}g_{ij}\beta _{j},$

gde je $g_{ij}$ skalarni proizvod i-tog i j-tog bazisnog vektora.

Ako je data matrica sa m vrsta i n kolona, element matrice se može označiti kao $M_{j}^{i},$ gde gornji indeks označava i-tu vrstu, a donji j-tu kolonu. Matrično množenje se tada može kompaktno izraziti kao

$M_{j}^{i}=A_{k}^{i}B_{j}^{k}.$

Vidi još

• Dirakova notacija

Literatura

• Einstein, Albert (1997) [1916]. „B. Mathematical Aids to the Formulation of Generally Covariant Equations (engleski prevod); B. Mathematische Hilfsmittel für Aufstellung allgemein kovarianter Gleichungen (original)”. Ur.: A. J. Kox, Martin J. Klein, Robert Schulmann. The Foundation of the General Theory of Relativity (na jeziku: (jezik: engleski) (jezik: nemački)) (The Collected Papers of Albert Einstein, Volume 6 izd.). Princeton University Press. Arhivirano iz originala (PDF) 29. 8. 2006. g. Pristupljeno 25. 12. 2010. CS1 održavanje: Višestruka imena: spisak urednika (veza)CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)
• Pais, Abraham (2005). „The Einstein Grossmann Collaboration”. Subtle Is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein (na jeziku: (jezik: engleski)). Oxford University Press. str. 216. ISBN 978-0-19-280672-7. Pristupljeno 25. 12. 2010. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)

Spoljašnje veze

• Einstein Summation na Wolfram MathWorld (jezik: engleski)
• Einstein rule, SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (jezik: engleski)