Barometarska formula

Zavisnost po kojoj se pritisak vazduha menja sa visinom naziva se barometarska formula (jednačina). Ona glasi:

Grafik promene pritiska vazduha sa visinom po barometarskoj formuli (računato na 15 °C i 0% relativne vlažnosti vazduha)

$p\,=\,p_{o}\cdot e^{-{\frac {\rho _{o}gh}{p_{o}}}}$

gde su:

• $p$ – traženi pritisak;
• $p_{o}$ – pritisak pri površini Zemlje (≈ 101325 Pa);
• $\rho _{o}$ – gustina vazduha pri površini Zemlje (≈ 1.2 kg/m³);
• $g$ – gravitaciono ubrzanje pri površini Zemlje (≈ 9,81 m/s²);
• $h$ – visina na kojoj se traži pritisak.

Atmosferski pritisak

Atmosferski pritisak na visini h potiče od težine slojeva atmosfere iznad ove visine. To je zato što je atmosferski pritisak ništa drugo do hidrostatički pritisak vazduha. Prosečni atmosferski pristisak izmeren na morskom nivou iznosi oko 101325 kPa. U meteorološkim izveštajima se pritisak često izražava u milibarima (1 mbar = 10⁻³ bar ≈ 100 Pa). U literaturi se još često sreću i milimetar živinog stuba ili тор (1 mmHg = 1 torr ≈ 133.32 Pa). Atmosferski pritisak prvi je izmerio italijanski naučnik Toričeli u 17. veku u svom ogledu.

Posmatraju se dva veoma tanka sloja atmosfere na različitim visinama. Jasno je da će pritisak u nižem sloju biti veći od pritiska u višem jer pored težine sloja vazduha iznad višeg, na niži deluje i težina sloja vazduha između njih. Odavde se može zaključiti da pritisak opada sa visinom.

Izvođenje barometarske jednačine

Ovde će biti predstavljeno najjednostavnije i najkorišćenije izvođenje barometarske formule, tzv. hidrostatičko izvođenje. Takođe je moguće barometarsku formulu (u malo izmenjenijim oblicima) dobiti i na druge načine (kinetičko izvođenje, statističko izvođenje...).

Aproksimacije koje su korišćene

Pri izvođenju barometarske jednačine koje će ovde biti predstavljeno zanemarena je promena jačina gravitacionog polja sa visinom, odnosno njegovo slabljenje sa udaljavanjem od centra Zemlje. Potrebno je takođe naglasiti i da se koristi aproksimacija da se vazduh ponaša kao idealan gas, kao i da je temperatura vazduha u celokupnoj atmosferi konstantna. Atmosfera se može izdeliti na beskonačno tanke slojeve. Pretpostavljeno je da se unutar jednog sloja gas nalazi u stanju termodinamičke ravnoteže, kao i da je pritisak gasa unutar jednog sloja konstantan (ali se, naravno, menja pri prelasku iz jednog sloja u drugi).

Postupak izvođenja

Izdvojen je jedan tanak sloj atmosfere na visini h, debljine dh. Neka je pritisak na visini h jednak p, a na visini h + dh jednak p + dp. Vrednost dp predstavlja beskonačno malu promenu pritiska pri beskonačno maloj promeni visine dh. Iz prethodnog može se pisati

$\left(p\,+\,dp\right)\,-\,p\,=\,-\,\rho gdh\,\,\,\,\,\rightarrow \,\,\,\,\,dp\,=\,-\rho gdh$

Znak minus u prethodnoj jednačini se pojavljuje zato što je još ranije zaključeno da se pritisak smanjuje sa visinom.

Beskonačno tanak sloj atmosfere (korišćen pri izvođenju barometarske formule)

Korišćenjem jednačine stanja idealnog gasa (Klapejronova jednačina) može se izraziti gustina vazduha kao $\rho =pM/RT$, gde su: p – pritisak vazduha; M – molarna masa vazduha (≈ 29 g/mol); R – univerzalna gasna konstanta (≈ 8.314 J/(mol·K)); T – apsolutna temteratura vazduha (izražena u kelvinima). Ubacivanjem toga u prethodnu jednačinu i deljenjem obe strane sa p dobija se

${\frac {dp}{p}}\,=\,-{\frac {Mg}{RT}}dh$

Integracijom prethodnog izraza jednakost postaje

$\ln p\,=\,-{\frac {Mg}{RT}}\cdot h\,+\,\ln C$

Dogovor je da se u prethodnoj jednačini umesto C piše ln C iz praktičnih razloga. Konačno, antilogaritmovanjem obe strane prethodne jednakosti se dobija

$p\,=\,C\cdot e^{-{\frac {Mgh}{RT}}}$

Ubacivanjem vrednosti p = p_o i h = 0 m (validni rezultati za vazduh pri površini Zemlje) dobija se C = p_o. Uvršćavanjem ovoga dobija se barometarska jednačina

$p\,=\,p_{o}\cdot e^{-{\frac {Mgh}{RT}}}$

Poznavanjem ove formule može se videti da se pritisak smanjuje sa visinom mnogo brže što je gas teži (veća mu je molarna masa) i, takođe, što je temperatura vazduha manja.

Takođe, iz jednačine stanja idealnog gasa, primenjene na vazduh pri površini Zemlje, dobija se odnos ${\frac {M}{RT}}\,=\,{\frac {\rho _{o}}{p_{o}}}$ . Odnosno, formula se može zapisati i kao

$p\,=\,p_{o}\cdot e^{-{\frac {\rho _{o}gh}{p_{o}}}}$

Alternativni oblik

Ponekad se radi jednostavnijeg zapisa same formule uvodi veličina $h_{o}\,=\,{\frac {p_{o}}{\rho _{o}g}}$ koja se naziva referentna visina i iznosi h_o ≈ 8500m. Sada se barometarska formula može zapisati kao

$p\,=\,p_{o}\cdot e^{-h/h_{o}}$

Odstupanja od realnih vrednosti

Tabela stvarnih i pritisaka izračunatih po barometarskoj formuli na nekim visinama

visina	stvarni pritisak	izračunat pritisak
30 km	1270 Pa (9.5 mmHg)	3333 Pa (25 mmHg)
60 km	28 Pa (0.21 mmHg)	107 Pa (0.8 mmHg)
90 km	0.253 Pa (0.0019 mmHg)	4 Pa (0.03 mmHg)

Barometarska formula je veoma važna za razumevanje promene pritiska sa visinom za lakše modeliranje atmosfere. Mora se napomenuti da ona važi za samo za manje visine, dok se za veće pravi veoma veliko odstupanje od realnih vrednosti.

U tabeli su predstavljeni stvarni (izmereni) pritisak i pritisak izračunat po barometarskoj formuli za neke visine. Pri izračunavanju su korišćene vrednosti za temperaturu T = 300K i pritisak p_o = 101325Pa. Iz tabele se može očitati da su realne vrednosti pritisaka niže od onih sračunatih barometarskom formulom, kao i da se relativna greška pritiska povećava sa povećanjem visine. Za preciznije i opštije predviđanje pritiska na nekoj visini potrebno je uračunati:

• promenu jačine gravitacionog polja Zemlje sa povećavanjem rastojanja od centra Zemlje
• jednačinu stanja realnog gasa
• promenu temperature sa visinom

Trenutno ne postoji eksplicitna formula koja obuhvata sve uslove (za potpuno tačno predviđanje pritiska na nekoj visini). Moguće je, međutim, uopštiti formulu tako što bi se neki od ovih uslova uključili u obzir (npr. uvesti vertikalni temperaturni gradijent), ali tada formula postaje glomazna i nepraktična za upotrebu. Bez obzira na jednostavnost same formule, ona se veoma dobro može primeniti na niže delove troposfere (do 6 km) gde se pravi relativna greška do 5%.

Izraz za promenu gustine sa visinom

Takođe, može se koristiti formula slična barometarskoj koja pokazuje zavisnost promene gustine vazduha sa visinom. Zavisnost se dobija jednostavno iz barometarske formule množeći obe strane jednakosti faktorom $M/RT$, i glasi

$\rho \,=\,\rho _{o}\cdot e^{-h/h_{o}}$

Literatura

• I.V. Svelyev. PHYSIC - A General Course - mechanics and molecular physic. 1989, Mir publishers Moscow.
• Dr Ljubo Ristovski. Fizika kontinuuma - fluidi. 1986, Beograd.
• Nataša Čaluković. Fizika za drugi razred Matematičke gimnazije. Krug, Beograd, 2007.

Spoljašnje veze

• On the barometric formula
• Hyperphysic: The Barometric Formula
• Barometric formula
• Gases and Plasmas
• Differential Equations - Barometric Formula Arhivirano na sajtu Wayback Machine (11. januar 2012)