Brojevni sistem

Brojevni (brojčani ili numerički) sistem je sistem simbola i pravila njihovog kombinovanja za simboličko predstavljanje brojeva. Simboli koji se koriste u datom brojevnom sistemu nazivaju se cifre. Najzastupljeniji brojevni sistemi u modernom dobu su dekadni, koji se koristi u svakodnevnoj komunikaciji i binarni brojevni sistem, koji se koristi u računarskim sistemima.

Klasifikacija brojevnih sistema uredi

Brojevni sistemi se sastoje od skupa cifara od koje predstavljaju određene brojeve. Skup brojeva predstavljenih svim ciframa brojevnog sistema naziva se bazis.

Na primer, skup cifara u rimskom brojevnom sistemu je $\{I,V,X,L,C,D,M\}$ , a bazis je $\{1,5,10,50,100,500,1000\}$ . U dekadnom brojevnom sistemu skup cifara je $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ali je bazis beskonačan, jer svaka cifra predstavlja različit broj u zavisnosti od njene pozicije u zapisu. Broj 11 u dekadnom zapisu koristi dve cifre 1, od kojih prva označava broj deset, a druga broj jedan, a zajedno reprezentuju broj $10+1=11$ .

Prema tome, brojevni sistemi mogu biti pozicioni i nepozicioni. Kod nepozicionih brojevnih sistema vrednost cifre ne zavisi od njene pozicije u zapisu broja već samo od njene sopstvene vrednosti. Primeri nepozicionih sistema su unarni, egipatski, rimski, grčki, slovenski i drugi brojevni sistemi.

Kod pozicionih brojevnih sistema vrednost cifre broja jednaka je proizvodu sopstvene vrednosti cifre i vrednosti pozicije u broju na kojoj se cifra nalazi. Kada je vrednost svake pozicije jednaka konstantnom umnošku vrednosti pozicije sa njene desne strane, radi se o sistemu sa fiksnom osnovom. Primeri pozicionih sistema sa fiksnom osnovom su dekadni brojevni sistem (sa osnovom 10), binarni sistem (sa osnovom 2), oktalni sistem (sa osnovom 8), i heksadekadni (sa osnovom 16).

Kada količnik vrednosti susednih pozicija nije konstantan, radi se o sistemu sa promenljivom osnovom. Primer sistema sa promenljivom osnovom je sistem za predstavljanje vremena.

Osnova brojevnog sistema može biti pozitivna ili negativna. Primer sistema sa negativnom osnovom je negabinarni brojevni sistem, čija je osnova -2. I cifre brojevnog sistema mogu biti pozitivne i negativne. Primer sistema koji koristi i pozitivne i negativne cifre je balansirani trinarni sistem, čija je osnova 3, a cifre su -1, 0 i 1.

Osim celobrojna, osnova brojevnog sistema može biti i racionalna, realna ili imaginarna. Primer sistema sa realnom osnovom je tzv. finarni brojevni sistem, čija je osnova (1+√5)/2, a cifre su 0 i 1.

Nepozicioni brojevni sistemi uredi

Neki od najstarijih i najjednostavnijih brojevnih sistema su nepozicioni. U ovu grupu se ubrajaju:

unarni
egipatski
grčki
rimski
slovenski i dr.

Unarni sistem uredi

Unarni brojevni sistem je najjednostavniji brojevni sistem koji sadrži samo jednu cifru npr. 1. U unarnom sistemu broj $n$ je predstavljen nizom od $n$ datih cifara. Dakle, broj 5 je predstavljen sa pet cifara 1 napisanih uzastopno:

Egipatski sistem uredi

Egipćani su koristili nekoliko simbola kao cifre koje reprezentuju bazis $\{1,10,100,1000,10000,100000\}$ . Ostali brojevi dobijaju se ponavljanjem bazisnih cifara, tako da je željeni broj zbir vrednosti svih cifara u zapisu.

Broj

1

10

100

1,000

10,000

100,000

Cifra

(hijeroglif)

Broj 4622 bi se u ovom sistemu prikazao ovako:

Treba napomenuti da pri zapisu broja, nije bitan raspored cifara, već samo njihova količina.

Grčki sistem uredi

Grčki brojevni sistem kao cifre koristi znakove grčkog alfabeta. Bazis određen znakovima grčkog alfabeta je $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,200,300,400,500,600,700,800,900\}$ . To jest, svakoj jedinici, desetici i stotini pridružena je jedna cifra, a cifre u zapisu se sabiraju i tako se dobija vrijednost reprezentovanog broja. Za zapisivanje većih brojeva postojala su dodatno definisana pravila. Da bi se razlikovale od običnih slova alfabeta, ciframa se dodaje određen dijakritički znak.

U helenističkom svetu, grčki brojevi su bili primarni način zapisa brojeva, ali i danas se koriste u Grčkoj u situacijama kada se u većini ostalih jezika koriste rimski brojevi.

Slovenski ćirilični sistem uredi

Ćirilični brojevni sistem je nastao po uzoru na grčki, pa shodno tome ima skoro identična pravila zapisa brojeva. Osim što su cifre ćiriličnog sistema slova stare ćirilice, razlike između ova dva sistema su male.

Rimski sistem uredi

Cifre rimskog brojevnog sistema su određena slova latinskog alfabeta: $\{I,V,X,L,C,D,M\}$ koja određuju bazis $\{1,5,10,50,100,500,1000\}$ . U jednoj varijanti rimskog sistema zapisa brojeva, cifre iskorištene u zapisu broja se samo sabiraju, pa je tako broj 19 zapisan sa $XVIIII$ , dok se u češće korištenoj varijatni, dodaje pravilo oduzimanja ako se cifra manje vrednosti nađe ispred cifre veće vrednosti. Tada je broj 19 zapisan sa $XIX$ .

Rimski brojevi se ponekad koriste i danas, npr. za zapis godina ili rednih brojeva u imenima vladara i slično.

Pozicioni brojevni sistemi uredi

Pozicioni brojevni sistemi su brojevni sistemi kod kojih vrednost koju predstavlja cifra zavisi i od pozicije te cifre u zapisu broja. Generalno bazis ovakvih brojevnih sistema je beskonačan i njega čini nekakav rastući niz $\{b_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ celih brojeva (u neki slučajevima čak i realnih brojeva). Ako ovaj sistem sadrži skup cifara sa oznakom $a$ za cifru, onda se proizvoljan celi broj $N$ u takvom sistemu zapisuje preko:

N=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n},\qquad a_{n}\in [0,{\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}{\Bigr )}

Ovaj zapis označava da se reprezentovani broj

N

dobija kao zbir celobrojnih umnožaka brojeva iz bazisnog niza

\{b_{n}\}_{n=0}^{\infty }

. Umnošci su određeni upravo ciframa

a_{n}

koje se koriste u zapisu broja.

Iz formule se vidi da broj potrebnih cifara za zapis broja u datom pozicionom sistemu zavisi od količnika uzastopnih elemenata bazisnog niza. To implicira da je potreban broj cifara - simbola za zapis bilo kog celog broja u tom sistemu jednak supremumu količnika uzastopnih članova bazisnog niza. Direktna posledica je da neki bazisni nizovi definišu brojevne sisteme koji u principu iziskuju beskonačan skup simbola za zapis proizvoljnog broja. Primer toga je sistem sa faktorijelnim bazisnim nizom $\{n!\}_{n=1}^{\infty }=\{1!,2!,3!,\dots ,n!,\dots \}$ .

Ipak, pozicioni brojevni sistemi koji se najčešće susreću su sistemi sa bazisom koji iziskuje konačan skup cifara. Primeri su:

sistemi sa geometrijskim bazisnim nizom
sistemi sa Fibonačijevim bazisnim nizom i dr.

Vidi još uredi

Literatura uredi

А. А. Вылиток, М. О. Проскурня. Введение в системы счисления. .
Фомин, Сергей Васильевич (1987). Системы счисления. Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука".
Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley. 1999. ISBN 978-0-471-37568-5..
D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194-213, "Positional Number Systems".
A. L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876–1960), Handbook of the Indians of California, Bulletin 78 of the Bureau of American Ethnology of the Smithsonian Institution (1919)
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.
Hans J. Nissen, P. Damerow, R. Englund (1993). Archaic Bookkeeping. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-58659-5. .
Denise Schmandt-Besserat (1992). How Writing Came About. University of Texas Press. ISBN 978-0-292-77704-0. .
Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Cultures. Lawrence Hill Books. ISBN 978-1-55652-350-2. .

Spoljašnje veze uredi

Reprezentacije brojeva (engleski) na sajtu enciklopedije matematike - Encyclopedia of Mathematics
Numerals and numeral systems, članak iz enciklopedije Britannica.

From one to another positional number system, " Iz jednog u drugi pozicioni borevni sistem ", članak posvećen razvoju algoritma i kompjuterskog programa u programskom jeziku C Sharp namenjenog konverziji brojeva iz jednog u drugi pozicioni brojevni sistem.