Valjanost (logika)

Valjanost u logici predstavlja osobinu deduktivnih argumenata, iako se često odnosi i na logičke iskaze. Argument se sastoji od jedne ili više tvrdnji, tzv. logičkih premisa, i jednog zaključka. Ukoliko iz tačnih premisa obavezno slijedi i da je zaključak tačan, kažemo da je argument valjan. Ako argument nije valjan, kaže se da je nevaljan.

Primjeri

Slijedi primjer jednog valjanog argumenta:

Svi ljudi su smrtni.

Sokrat je čovjek.

Prema tome, Sokrat je smrtan.

Pošto je ovo valjan argument, onda ako Sokrat zaista jeste čovjek, i ako svi ljudi zaista jesu smrtni, zaključak da je Sokrat smrtan mora biti tačan. Slijedi primjer jednog nevaljanog argumenta:

Svi ljudi su smrtni.

Sokrat je smrtan.

Prema tome, Sokrat je čovjek.

U ovom slučaju nije nemoguće da premise budu tačne, a da zaključak bude netačan. Nije teško zamisliti da je Sokrat npr. ptica, i da prve dvije premise ostanu tačne, a da zaključak ne bude tačan. Zbog te mogućnosti ovaj argument ne može biti valjan te kažemo da je nevaljan.

Dokazivanje

U matematičkoj logici se upotrebljavaju razne tehnike prikazivanja argumenata u obliku logičkih iskaza radi lakšeg zaključivanja da li je argument valjan ili nije. Tako, stav „Svi ljudi su smrtni“ se prvo prikaže u zgodnijem obliku „Svaka stvar, ako je čovjek, ona je i smrtna“ (jer to važi za sve ljude, kako je rečeno u početnoj tvrdnji). Zatim imenujemo dvije relacije $A$ i $B$ na sljedeći način:

A(x) := x je čovjek

B(x) := x je smrtan

Na ovaj način naša tvrdnja „Svaka stvar, ako je čovjek, ona je i smrtna“ dobija zapis $\forall x,(A(x)\Rightarrow B(x))$. Zatim, radi lakšeg pisanja, Sokrata obilježimo slovom $s$, i pošto se tvrdi da je Sokrat čovjek, u skladu sa uvedenom notacijom imamo da je tačno $A(s)$. Dakle, argument:

Svi ljudi su smrtni.

Sokrat je čovjek.

Prema tome, Sokrat je smrtan.

dobija sljedeći zapis:

$(\forall x(A(x)\Rightarrow B(x))\land A(s))\Rightarrow B(s)$

Koristeći istu notaciju, argument:

Svi ljudi su smrtni.

Sokrat je smrtan.

Prema tome, Sokrat je čovjek.

dobija sljedeći zapis:

$(\forall x(A(x)\Rightarrow B(x))\land B(s))\Rightarrow A(s)$

Dokazivanje valjanosti

Ovakva notacija omogućava lakšu procjenu argumenta u komplikovanijim izrazima koji se ne mogu jednostavno analizirati „golim okom“. Procjena se vrši koristeći standardne tehnike iskaznog računa. Dokažimo, na primjer, da je naš valjani argument zaista valjan. Da bismo to dokazali, pretpostavićemo da nije valjan, i dokazati da to nije moguće.

Dakle, pretpostavimo da izraz:

$(\forall x(A(x)\Rightarrow B(x))\land A(s))\Rightarrow B(s)$

nije tačan. Pošto je u pitanju logička implikacija, po samoj svojoj definiciji ona nije tačna samo u slučaju da je prvi iskaz tačan a drugi iskaz netačan. Dakle:

${\begin{alignedat}{1}\top &\forall x(A(x)\Rightarrow B(x))\land A(s)\\\bot &B(s)\end{alignedat}}$

Prvi iskaz, pošto je logička konjunkcija, može biti tačan samo ako su obje strane iskaza tačne:

${\begin{alignedat}{1}\top &\forall x(A(x)\Rightarrow B(x))\\\top &A(s)\end{alignedat}}$

Ako je prvi iskaz iz ovog sistema tačan za sve $x$, kao što se tvrdi, onda je tačan i za $s$, pa slijedi:

${\begin{alignedat}{1}\top &A(s)\Rightarrow B(s)\\\top &A(s)1^{o}\end{alignedat}}$

Po prirodi logičke implikacije, ona može biti tačna samo ukoliko 1. obje strane implikacije su tačne 2. lijeva strana implikacije je netačna, a desna ili tačna ili netačna. Dakle, u prvom slučaju:

${\begin{alignedat}{1}\top &A(s)\\\top &B(s)\end{alignedat}}$

što je nemoguće, jer se protivurječi našoj pretpostavci da je $B(s)$ netačno. U drugom slučaju:

${\begin{alignedat}{1}\bot &A(s)\\\bot \top &B(s)\\\end{alignedat}}$

što je takođe nemoguće jer se protivurječi ranijem zaključku da je $A(s)$ tačno (1^o).

Tako smo dokazali da nas pretpostavka da je ovaj argument u nekom slučaju netačan uvijek vodi ka protivurječnosti, tj. dokazali smo da je argument uvijek tačan.

Dokazivanje nevaljanosti

Da bi se dokazalo da određeni iskaz nije valjan, tj. da je nevaljan, obično se pribjegava tehnici pronalaženja slučaja koji zadovoljava premise a ne zadovoljava zaključak. Ako pretpostavimo npr. da je drugi argument valjan, i pronađemo slučaj koji dokazuje suprotno, vidjećemo da argument nije valjan. Pošto smo ga zapisali u obliku logičkog iskaza, ništa nas ne zadržava da i dalje ostanemo u okviru pojmova „čovjek“, „Sokrat“, „smrtan“ itd. nego možemo naći i jednostavnije relacije koje će pokazati da argument nije valjan. Tako, možemo uzeti sljedeće definicije:

${\begin{alignedat}{1}&N=(\mathbb {N} \cup \{0\},\leq )\\&A(x):=x<0\\&B(x):=x=2\end{alignedat}}$

Kada uvrstimo ovako definisane $A$ i $B$ u novi zapis argumenta, dobijamo:

${\begin{alignedat}{1}\top &(\forall x(x<0\Rightarrow x=2)\land s=2)\Rightarrow x<0\\\top &((\bot ^{1}\Rightarrow \bot ^{2})\land \top ^{3})\Rightarrow \bot ^{1}\\\top &(\top \land \top )\Rightarrow \bot \\\top &\top \Rightarrow \bot \\\top &\bot \end{alignedat}}$

¹ jer su skup nenegativnih brojeva postavljen kao oblast definisanosti
² jer nije svaki prirodan broj jednak 2
³ jer je tako po definiciji druge premise

što nas takođe vodi do kontradikcije, što znači da argument zaista jeste nevaljan.

Vidi još

• Tautologija
• Iskazni račun
• Logičke operacije