Deljenje

Deljenje je jedna od četiri osnovne operacije aritmetike, načina na koji se brojevi kombinuju da bi se stvorili novi brojevi. Ostale operacije su sabiranje, oduzimanje i množenje.

20 / 4 = 5, ilustrovano ovde sa jabukama. Ovo se verbalno može iskazati kao „Dvadeset podeljeno sa četiri jednako je pet”.

Na osnovnom nivou, deljenje dva prirodna broja je, između ostalih mogućih interpretacija, postupak izračunavanja koliko puta se jedan broj sadrži u drugom. Ovaj broj puta nije uvek ceo broj (broj koji se mogu dobiti korišćenjem ostalih aritmetičkih operacija nad prirodnim brojevima).

Deljenjem sa ostatkom ili Euklidskim deljenjem dva prirodna broja dobija se celobrojni količnik, to jest koliko puta je drugi broj u potpunosti sadržan u prvom broju, i ostatak, koji je deo prvog broja koji ostaje, kada je u tokom izračunavanja količnika ne može se dodeliti dalji puni deo veličine drugog broja.

Modifikacija deljenja kojom se dobija samo jedan rezultat, dovodi do proširenja prirodnih brojeva na racionalne brojeve (brojeve koji se mogu dobiti korišćenjem aritmetike na prirodnim brojevima) ili realne brojeve. U ovim proširenim brojevnim sistemima deljenje je inverzna operacija množenja, to jest a = c / b znači a × b = c, sve dok b nije nula. Ako je b = 0, onda je to deljenje sa nulom, što nije definisano.

Oba oblika podele pojavljuju se u raznim algebarskim strukturama, različitim načinima definisanja matematičke strukture. Oni u kojima je definisana Euklidska podela (sa ostatkom) nazivaju se Euklidskim domenima i uključuju polinomske prstenove u jednoj neodređenoj promenljivoj (koji definišu množenje i sabiranje preko formula sa jednom promenljivom). Oni u kojima je definisano deljenje (sa jednim rezultatom) na sve nenulte elemente nazivaju se polja i prstenovi deljenja. U prstenu se elementi pomoću kojih je deljenje uvek moguće nazivaju jedinicama (na primer, 1 i -1 u prstenu celih brojeva). Druga generalizacija podele na algebarske strukture je količnička grupa, u kojoj je rezultat „deljenja“ grupa, a ne broj.

Oznaka

U većini zemalja kontinentalne Evrope, uključujući i srpsko govorno područje, u početnim godinama obrazovanja, deljenje se prikazuje dvotačkom (:), dok u engleskom govornom području preovladava poseban znak deljenja (÷). U daljem školovanju preovladava kosa crta (/) ili razlomačka crta.

Sa druge strane, standard ISO 80000-2 za matematičku notaciju preporučuje samo kosu crtu ili razlomačku crtu za deljenje. Dvotačku rezerviše za prikaz razmera.

Uvod

Najjednostavniji način gledanja na deljenje je u smislu citiranja i particije: iz perspektive citiranja, 20 / 5 znači broj petina koje se moraju dodati da bi se dobilo 20. U pogledu particije, 20 / 5 znači veličinu svakog od 5 delova na koje je podeljen skup veličine 20. Na primer, 20 jabuka se deli u pet grupa od četiri jabuke, što znači da je dvadeset podeljeno sa pet jednako četiri. Ovo se označava kao 20 / 5 = 4, ili 20/5 = 4. Ono što se deli naziva se deljenik, koji se deli deliocem, a rezultat naziva količnikom. U primeru 20 je deljenik, 5 delilac i 4 količnik.

Za razliku od ostalih osnovnih operacija, pri deljenju prirodnih brojeva ponekad postoji ostatak koji ne biva ravnomerno raspoređen u delitelju; na primer, 10 / 3 ostavlja ostatak od 1, jer 10 nije umnožak od 3. Ponekad se ovaj ostatak dodaje količniku kao decimala, tako da je 10 / 3 jednako 3+1/3 ili 3.33..., ali u kontekstu celobrojne podele, gde brojevi nemaju razloženi deo, ostatak se čuva odvojeno (izuzetno, odbačen ili zaokružen). Kada se ostatak zadrži kao razlomak, dolazi se do racionalnog broja. Skup svih racionalnih brojeva nastaje proširivanjem celih brojeva sa svim mogućim rezultatima deljenja celih brojeva.

Za razliku od množenja i sabiranja, deljenje nije komutativno, što znači da a / b nije uvek jednako b / a. Deljenje, takođe, generalno nije asocijativno, što znači da kada se deli više puta, redosled deljenja može promeniti rezultat. Na primer, (20 / 5) / 2 = 2, but 20 / (5 / 2) = 8, ali 20 / (5 / 2) = 8 (gde upotreba zagrada ukazuje na to da se operacije u zagradama izvode pre operacija izvan zagrada).

Deljenje se tradicionalno smatra levo-asocijativnom. Odnosno, ako postoji više podela u nizu, redosled izračunavanja ide s leva na desno:

$a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\neq a/(b/c)=(a\times c)/b.$

Deljenje je desno-distributivno nad sabiranjem i oduzimanjem, u smislu da

${\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.$

Ovo je isto za množenje, kao $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. Međutim, deljenje nije levo-distributivno, kao

${\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\neq (a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.$

Ovo se razlikuje od slučaja množenja, koji je levo-distributivno i desno-distributivno, a samim tim i distributivno.

Deljenje u matematici

$x={\frac {a}{b}}$

Deljenje u matematici je, dakle, operacija suprotna množenju. To je računska radnja kojom se iz datog proizvoda i jednog činioca, tj. faktora, dobija drugi činilac. Podeliti a sa b znači naći takvo x da je b·x = a, ili x·b = a. Dati proizvod a se naziva deljenik, dati činilac b naziva se delilac, ili delitelj, a nepoznati, traženi drugi činilac x se naziva količnik ili odnos a sa b. Operacija deljenja se označava sa dve tačke (a:b), ili horizontalnom crtom ${\frac {a}{b}}$, ili kosom crtom (a/b).

U prstenu celih brojeva deljenje nije uvek izvodljivo. Na primer 12 je deljivo sa 6, ali nije deljivo sa 5. Ako se u deljenju celog broja a celim brojem b kao količnik dobija ceo broj, kaže se da je prvi broj deljiv (bez ostatka) sa drugim. U polju racionalnih brojeva deljenje je uvek izvodljivo i jednoznačno, sem deljenja s nulom. Ako je b≠0, za a≠0 će biti a≠b·0. U deljenju a=0 sa b=0 količnik x može biti svaki broj. Međutim, da se ne bi narušila jednoznačnost operacije, deljenje nulom se i u takvom slučaju smatra nemogućim.

Deljenje sa ostatkom dva cela broja a i b koji nisu negativni je iznalaženje dva broja x i y, koji takođe nisu negativni, i koji zadovoljavaju uslove: 1) a=bx+y, 2) y<b. Broj a se naziva deljenik (dividend), broj b je delilac (delitelj, divizor), x je nepotpuni količnik (kad je y≠0) ili količnik (kad je y=0), y je ostatak.

Analogno ovome se definiše deljenje i deljenje s ostatkom za polinom.

Osobine

$a:1=a$

Deljenje sa $-1$ daje suprotni broj

$a:(-1)=-a$

Nula podeljena s prirodnim brojem je 0.

$0:a=0$

Broj podeljen samim sobom daje broj 1.

$a:a=1$

Proširivanje količnika

$a:b=c=>(a*d):(b*d)=c$

Skraćivanje količnika

$a:d=c=>(a:b):(d:b)=c$ za $d\neq 0$

Količnik negativnog i pozitivnog celog broja je negativni broj čija je apsolutna vrednost jednaka količniku apsolutnih vrednosti zadatih brojeva.

$(-a):b=-(a:b)$

Količnik dva negativna cela broja je pozitivan broj čija je apsolutna vrednost jednaka količniku apsolutnih vrednosti deljenika i delitelja.

($-a):(-b)=|-a|:|-b|=a:b$

Deljenje se može prikazati preko sabiranja i oduzimanja brojeva

${\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$

Kao i kod množenja važi zakon distribucije deljenja u odnosu na sabiranje

${\frac {a+b}{c}}=(a+b)\div c={\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}$ Ali zakon distributivnosti ne važi u slučaju

${\frac {a}{b+c}}=a\div (b+c)\neq {\frac {a}{b}}+{\frac {a}{c}}$

Dvojni razlomak

Dvojni razlomak je razlomak oblika

${p/q \over r/s}$

On se rešava na sledeći način ${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$

Deljenje s nulom

Glavni članak: Deljenje s nulom

Deljenje bilo kojeg broja sa nulom (gde je nula delilac) nije definisano.

Deljenje celih brojeva

Deljenje celih brojeva nije zatvorena računska operacija. Količnik brojeva neće biti celi broj ako deljenik nije višekratnik delitelja.

Primer

26 se ne može podeliti sa 10 i dati celi broj kao količnik. U tom slučaju postoji četiri pristupa:

1. Recimo da se 26 ne može podijeliti sa 10; dijeljenje postaje djelomična funkcija.
2. Zapisivanje količnika kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, dakle ${\tfrac {26}{10}}=2,6$ ili ${\tfrac {26}{10}}=2{\tfrac {3}{5}}.$ Ovo je najčešći pristup u matematici.
3. Zapisati rješenje kao razliku i ostatak, dakle ${\tfrac {26}{10}}=2{\mbox{ i ostatak }}6.$
4. Zapisati razliku kao cijeli broj (približni broj), dakle ${\tfrac {26}{10}}=2$

Dijeljenje kompleksnih brojeva

Količnik dva kompleksna broja od kojih drugi nije jednak nuli definisano je na sljedeći način.

${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$

za p, q, r, s realne brojeve r , s različiti 0

Jednostavnije je dijeljenje kompleksnih brojeva izraženo na sljedeći način

${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}$

za p, q, r, s realne brojeve r različito od 0.

Dijeljenje decimalnih brojeva

Decimalni broj dijeli se s prirodnim brojem kao da nema decimalnog zareza , ali se u količniku naznačava decimalni zarez kad se završi s dijeljenjem cijelog dijela djeljenika.

$15,5:5=3,1$

Decimalni broj djeli se s decimalnim brojem tako da djeljenik i djelitelj pomnožimo s dekadskom jedinicom koja ima toliko nula koliko djelitelj decimala.

$7,842:2,4=78,42:24=3,2675$

Decimalni broj dijeli se s dekadskom jedinicom tako da mu decimalni zarez pomičemo ulijevo za onoliko decimalnih mjesta koliko nula ima ta dekadska jedinica.

$423,10:10=42,310$

$51,24:100=0.5124$

Tablica deljenja

Nekoliko osnovnih tablica deljenja su:

Deljenje sa 1	Deljenje sa 2	Deljenje sa 3	Deljenje sa 4	Deljenje sa 5	Deljenje sa 6	Deljenje sa 7
1:1=1	2:2=1	3:3=1	4:4=1	5:5=1	6:6=1	7 : 7 = 1
2:1=2	4:2=2	6:3=2	8:4=2	10:5=2	12:6=2	14 : 7 = 2
3 : 1 = 3	6:2=3	9:3=3	12:4=3	15:5=3	18:6=3	21 : 7 = 3
4 : 1 = 4	8:2=4	12:3=4	16:4=4	20:5=4	24:6=4	28 : 7 = 4
5 : 1 = 5	10:2=5	15:3=5	20:4=5	25:5=5	30:6=5	35 : 7 = 5
6 : 1 = 6	12:2=6	18:3=6	24:4=6	30:5=6	36:6=6	42 : 7 = 6
7 : 1 = 7	14:2=7	21:3=7	28:4=7	35:5=7	42:6=7	49 : 7 = 7
8 : 1 = 8	16:2=8	24:3=8	32:4=8	40:5=8	48:6=8	56 : 7 = 8
9: 1 = 9	18:2=9	27:3=9	36:4=9	45:5=9	54:6=9	63 : 7 = 9
10:1=10	20:2=10	30:3=10	40:4=10	50:5=10	60:6=10	70 : 7 = 10

Deljenje sa 8	Deljenje sa 9	Deljenje sa 10
8:8=1	9:9=1	10 : 10 = 1
16:8=2	18:9=2	20 : 10 = 2
24:8=3	27:9=3	30 : 10 = 3
32:8=4	36:9=4	40 : 10 = 4
40:8=5	45:9=5	50 : 10 = 5
48:8=6	54:9=6	60 : 10 = 6
56:8=7	63:9=7	70 : 10 = 7
64:8=8	72:9=8	80 : 10 = 8
72:8=9	81:9=9	90 : 10 = 9
80:8=10	90:9=10	100 : 10 = 10

Pravila deljenja

Pravila deljenja mogu pomoći pri brzom određivanju da li se jedan celi broj može podeliti u drugi celi broj.

Deljivost sa brojem 2

Broj je deljiv brojem 2 ako je paran odnosno ako je njegova poslednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8

$24/2=12$

Deljivost sa brojem 3

Broj je deljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara deljiv sa 3.

$27/3=9$ .......... $2+7=9$ $(9/3=3)$

Deljivost sa brojem 4

Broj je deljiv sa 4 ako je dvocifreni broj koji čine 2 poslednje cifre tog broja deljiv sa 4

$324/4=81$ jer je $24/4=6$

Deljivost sa brojem 5

Broj je deljiv sa 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5

$25/5=5$

$40/5=8$

Deljivost sa brojem 6

Broj je deljiv sa 6 ako je sa 2 i sa 3

$36/6=6$ jer je $36/2=18$ i $36/3=12$

Deljivost sa brojem 8

Broj je deljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji čine 3 poslednje cifre tog broja deljiv sa 8

$3120/8=390$ jer je $120/8=15$

Deljivost sa brojem 9

Broj je deljiv sa 9 ako je zbir cifara deljiv sa 9.

$2817/9=313$ jer je $2+8+1+7=18=>18/9=2$

Deljivost sa brojem 10

Broj je deljiv sa 10 ako je deljiv brojevima 2 i 5, odnosno završava se cifrom 0

$30/10=3$ jer je $30/2=10$ $30/5=6$

Deljenje i kalkulus

Derivacija količnika dve funkcije data je pravilom derivacije količnika:

${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$

Ne postoji generalna metoda integracije količnika dve funkcije.

Vidi još

• deljivost
• deljenje kompleksnih brojeva
• deljenje duži u harmonijskoj proporciji, tj. zlatno pravilo, ili zlatni presek
• harmonijska četvorka
• Euklidov algoritam
• deljenik
• delilac
• količnik

Literatura

• Blake, A. G. (1887). Arithmetic. Dublin, Ireland: Alexander Thom & Company. 

Spoljašnje veze

• Planetmath division
• Division on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
• Chinese Short Division Techniques on a Suan Pan
• Rules of divisibility Архивирано на сајту Wayback Machine (3. мај 2015)