Idempotencija

Ovaj članak opisuje matematički koncept idempotencije, za povezani koncept u računarstvu, pogledajte Idempotencija (računarstvo)

U matematici, koncept idempotencije, koji grubo rečeno znači da neka operacija daje isti rezultat bilo da se izvršava jednom ili više puta, javlja se na nekoliko mesta u apstraktnoj algebri

Javljaju se dve glavne definicije idempotencije:

• Ako je data binarna operacija, idempotentan element je element koji kada se pomnoži (ili za funkciju, komponuje) samim sobom, daje sebe kao rezultat. Na primer, jedina dva realna broja koja su idempotentna u odnosu na množenje su 0 i 1.
• Unarna operacija je idempotentna ako, kad god se primeni dvaput na bilo koji element, daje isti rezultat kao kad se primeni samo jednom. Na primer, funkcija ceo deo je idempotentna kao funkcija iz skupa realnih brojeva u skup celih brojeva. Ova definicija za unarne operacije je u stvari specijalni slučaj definicije za binarne operacije.

Formalne definicije

Binarna operacija

Ako je $S$ skup sa binarnom operacijom $*$, tada se za element $s$ iz $S$ kaže da je idempotentan (u odnosu na $*$) ako $s*s=s$.

Specijalno, svaki neutral je idempotentan. Ako je svaki element na skupu $S$ idempotentan, tada se za binarnu operaciju $*$ kaže da je idempotentna. Na primer, operacije unije i preseka skupova su obe idempotentne.

Unarna operacija

Ako je $f$ unarna operacija na domenu $X$, tada je $f$ idempotentna ako za svako $x\in X$,

$f(f(x))=f(x)$. Ovo je ekvivalentno iskazu $f\circ f=f$, gde $\circ$ označava kompoziciju funkcija.

Specijalno, identiteta je idempotentna, kao i svaka konstantna funkcija.

Uobičajeni primeri

Funkcije

Kao što je već rečeno, identitete i konstantna preslikavanja su uvek idempotentna. Manje trivijalni primeri su funkcija apsolutne vrednosti realnog ili kompleksnog argumenta, kao i ceo deo funkcija.

Idempotentni elementi prstena

Idempotentan element prstena je po definiciji element koji je idempotentan u odnosu na operaciju množenja prstena.

Ako je $e$ idempotentno u prstenu $R$, onda je $eRe$ takođe prsten, sa multiplikativnim neutralom $e$.

Dva idempotentna elementa, $e$ i $f$ se nazivaju ortogonalnim ako $ef=fe=0$. U ovom slučaju, $e+f$ je takođe idempotentno, i imamo $e\leq e+f$ i $f\leq e+f$.

Ako je $e$ idempotentno u prstenu $R$, tada je idempotentno i $f=1-e$; $e$ i $f$ su ortogonalni.

Idempotentni element $e\in R$ se naziva centralnim ako $ex=xe$ za svako $x\in R$. U ovom slučaju, $Re$ je prsten sa multiplikativnim neutralom $e$. Centralni idempotentni elementi prstena $R$ su u bliskoj vezi sa dekompozicijama $R$ u direktne sume prstenova. Ako je $R$ direktna suma prstenova $R_{1},...,R_{n}$, tada su neutrali prstenova $R_{i}$ centralno idempotentni u $R$.

Prsten u kome su svi elementi idempotentni se naziva Bulov prsten. Može se pokazati da je u svakom takvom prstenu, množenje komuttivno, i da svaki element ima svoj aditivni inverz.

Drugi primeri

Idempotentne operacije se mogu naći i u Bulovoj algebri, kao i u linearnoj algebri, gde je projekcija idempotentna.

Idempotentan poluprsten je poluprsten čije sabiranje (ne množenje) idempotentno.

Postoje idempotentne matrice. Vidi Spisak matrica.

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Goodearl, K. R. (1991), von Neumann regular rings (2 izd.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., str. xviii+412, ISBN 978-0-89464-632-4, MR 1150975 
• Gunawardena, Jeremy (1998), „An introduction to idempotency” (PDF), Ur.: Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, str. 1—49, Zbl 0898.16032 
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Idempotent”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. V. (2004), Algebras, rings and modules. vol. 1, Mathematics and its Applications, 575, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, str. xii+380, ISBN 978-1-4020-2690-4, MR 2106764 
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 izd.), New York: Springer-Verlag, str. xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, MR 1838439, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0 
• Lang, Serge (1993), Algebra (Third izd.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, str. 443, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001 
• Peirce, Benjamin. Linear Associative Algebra 1870.
• Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), An introduction to group rings, Algebras and Applications, 1, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, str. xii+371, ISBN 978-1-4020-0238-0, MR 1896125, doi:10.1007/978-94-010-0405-3