Ovaj članak opisuje matematički koncept idempotencije, za povezani koncept u računarstvu, pogledajte Idempotencija (računarstvo)

U matematici, koncept idempotencije, koji grubo rečeno znači da neka operacija daje isti rezultat bilo da se izvršava jednom ili više puta, javlja se na nekoliko mesta u apstraktnoj algebri

Javljaju se dve glavne definicije idempotencije:

  • Ako je data binarna operacija, idempotentan element je element koji kada se pomnoži (ili za funkciju, komponuje) samim sobom, daje sebe kao rezultat. Na primer, jedina dva realna broja koja su idempotentna u odnosu na množenje su 0 i 1.
  • Unarna operacija je idempotentna ako, kad god se primeni dvaput na bilo koji element, daje isti rezultat kao kad se primeni samo jednom. Na primer, funkcija ceo deo je idempotentna kao funkcija iz skupa realnih brojeva u skup celih brojeva. Ova definicija za unarne operacije je u stvari specijalni slučaj definicije za binarne operacije.

Formalne definicije uredi

Binarna operacija uredi

Ako je   skup sa binarnom operacijom  , tada se za element   iz   kaže da je idempotentan (u odnosu na  ) ako  .

Specijalno, svaki neutral je idempotentan. Ako je svaki element na skupu   idempotentan, tada se za binarnu operaciju   kaže da je idempotentna. Na primer, operacije unije i preseka skupova su obe idempotentne.

Unarna operacija uredi

Ako je   unarna operacija na domenu  , tada je   idempotentna ako za svako  ,

 . Ovo je ekvivalentno iskazu  , gde   označava kompoziciju funkcija.

Specijalno, identiteta je idempotentna, kao i svaka konstantna funkcija.

Uobičajeni primeri uredi

Funkcije uredi

Kao što je već rečeno, identitete i konstantna preslikavanja su uvek idempotentna. Manje trivijalni primeri su funkcija apsolutne vrednosti realnog ili kompleksnog argumenta, kao i ceo deo funkcija.

Idempotentni elementi prstena uredi

Idempotentan element prstena je po definiciji element koji je idempotentan u odnosu na operaciju množenja prstena.

Ako je   idempotentno u prstenu  , onda je   takođe prsten, sa multiplikativnim neutralom  .

Dva idempotentna elementa,   i   se nazivaju ortogonalnim ako  . U ovom slučaju,   je takođe idempotentno, i imamo   i  .

Ako je   idempotentno u prstenu  , tada je idempotentno i  ;   i   su ortogonalni.

Idempotentni element   se naziva centralnim ako   za svako  . U ovom slučaju,   je prsten sa multiplikativnim neutralom  . Centralni idempotentni elementi prstena   su u bliskoj vezi sa dekompozicijama   u direktne sume prstenova. Ako je   direktna suma prstenova  , tada su neutrali prstenova   centralno idempotentni u  .

Prsten u kome su svi elementi idempotentni se naziva Bulov prsten. Može se pokazati da je u svakom takvom prstenu, množenje komuttivno, i da svaki element ima svoj aditivni inverz.

Drugi primeri uredi

Idempotentne operacije se mogu naći i u Bulovoj algebri, kao i u linearnoj algebri, gde je projekcija idempotentna.

Idempotentan poluprsten je poluprsten čije sabiranje (ne množenje) idempotentno.

Postoje idempotentne matrice. Vidi Spisak matrica.

Literatura uredi