Kardinalan broj

Za drugu upotrebu, pogledajte članak Broj (višeznačna odrednica).

Kardinalan broj konačnog skupa je broj elemenata skupa. U slučaju beskonačnih skupova kardinalan broj se može definisati kao vrsta beskonačnog skupa u koji se dati skup može preslikati sa bijekcijom.

Alef nula, najmanji beskonačni kardinal

Vrste beskonačnih skupova su takođe poznate kao stepeni beskonačnosti od kojih postoje dva koji su od posebnog interesa

• $\aleph _{0}$ (alef nula) - stepen beskonačnosti skupa prirodnih brojeva
• $c\,$ - ili kontinuum, stepen beskonačnosti skupa realnih brojeva

Skupovi sa kardinalnim brojem $\aleph _{0}$ se takođe zovu prebrojivim skupovima. Intuitivno, elementi prebrojivog skupa $S\,$ se mogu poređati pomoću bijekcije na skup prirodnih brojeva, tj. $S=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...\rbrace \,$.

Teorija brojeva i koncept beskonačnosti sadrže dosta rezultata koji se protive intuiciji i deluju iznenađujuće za laike npr. skup parnih brojeva $P\,$ je prebrojiv tj ima „isti“ broj elemenata kao skup svih prirodnih brojeva $N\,$. Ovaj rezultat laički deluje iznenađujuće pošto na prvi pogled izgleda da postoji dvostruko više prirodnih brojeva nego parnih, ali se može jednostavno dokazati preko bijekcije $f:n\mapsto 2n$ kojom se parni brojevi mogu poređati u $\lbrace 2,4,6,...\rbrace \,$.

Georg Kantor je formulisao hipotezu kontinuuma koja tvrdi da ne postoji kardinalan broj između $\aleph _{0}$ i kontinuuma, tj. $\aleph _{1}=c$.

Za dati skup $S\,$ možemo definisati kardinalan broj skupa svih podskupova $S\,$ kao $2^{S}\,$. Kardinalni brojevi $\aleph _{0}$ i $\aleph _{1}$ su povezani preko jednačine $\aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}$. Generalizovana hipoteza kontinuuma tvrdi $\aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}$.