Kvadrat

геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла

Kvadrat je matematički pojam prisutan u geometriji i algebri. U geometriji je to geometrijska figura u ravni sastavljena od jednake četiri stranice i ugla. On je pravilan četvorougao, paralelogram.[1] Temena se označavaju velikim slovima A, B, C, D, stranica malim slovom a, dijagonala malim slovom d. To je jedini pravilan mnogougao čiji su unutrašnji ugao, centralni ugao i spoljašnji ugao jednaki (90°), a čije su dijagonale jednake po dužini.[2]

Kvadrat
Poluprečnik opisanog i upisanog kruga kod kvadrata

Osobine kvadrata uredi

Osobine kvadrata su:[3][4]

  • sve stranice su jednake
  • svi uglovi su pravi
  • dijagonale su jednake, polove se i seku pod pravim uglom
  • dužina dijagonale je  
  • obim kvadrata je  
  • površina kvadrata je  
  • poluprečnik upisanog kruga je  , a poluprečnik opisanog je  

Obim i površina uredi

 
Površina kvadrata je proizvod dužine njegovih stranica.

Obim kvadrata čije četiri stranice imaju dužinu   je

 

a površina A je

 [2]

Pošto je četiri na kvadrat jednako šesnaest, kvadrat četiri sa četiri ima površinu jednaku njegovom perimetru. Jedini drugi četvorougao sa takvim svojstvom je pravougaonik tri sa šest.

U klasično doba, drugi stepen je opisan u smislu površine kvadrata, kao u gornjoj formuli. To je dovelo do upotrebe termina kvadrat da znači podizanje na drugi stepen.

Površina se takođe može izračunati korišćenjem dijagonale 'd prema

 

U smislu poluprečnika kruga R, površina kvadrata je

 

pošto je površina kruga   kvadrat ispunjava   njegovog opisanog kruga.[5]

U smislu radijusa r, površina kvadrata je

 

stoga je površina upisanog kruga   površine kvadrata.

Pošto je to pravilan mnogougao, kvadrat je četvorougao najmanjeg perimetra koji obuhvata datu oblast. Dvostruko, kvadrat je četvorougao koji sadrži najveću površinu unutar datog perimetra.[6] Zaista, ako su A i P površina i obim zatvoreni četvorouglom, onda važi sledeća izoperimetrijska nejednakost:[7]

 

sa jednakošću ako i samo ako je četvorougao kvadrat.

Druge činjenice uredi

 
  • Ako je   rastojanje od proizvoljne tačke u ravni do i-tog temena kvadrata i   je poluprečnik kruga kvadrata, onda je[10]
 
  • Ako su   i   rastojanja od proizvoljne tačke u ravni do središta kvadrata i njegova četiri temena respektivno, onda je[11]
 
i
 
gde je   poluprečnik kruga kvadrata.

Koordinate i jednačine uredi

 
  prikazano na kartezijanskim koordinatama.

Koordinate za temena kvadrata sa vertikalnim i horizontalnim stranicama, sa centrom u koordinatnom početku i sa dužinom stranice 2 su (±1, ±1), dok unutrašnjost ovog kvadrata čine sve tačke (xi, yi) sa −1 < xi < 1 i −1 < yi < 1. Jednačina

 

određuje granicu ovog kvadrata. Ova jednačina znači „x2 ili y2, koje god je veće, jednako je 1.” Poluprečnik kruga ovog kvadrata (poluprečnik kruga povučen kroz vrhove kvadrata) je polovina dijagonale kvadrata i jednak je   Tada opisani krug ima jednačinu

 

Alternativno, jednačina

 

takođe se može koristiti za opisivanje granice kvadrata sa koordinatama centra (a, b), i horizontalnim ili vertikalnim poluprečnikom r. Kvadrat je stoga oblik topološke lopte prema L1 metrici udaljenosti.

Vidi još uredi

Reference uredi

  1. ^ Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 12. 12. 2017. 
  2. ^ a b v Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-09-02. 
  3. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing. str. 59. ISBN 978-1-59311-695-8. 
  4. ^ „Problem Set 1.3”. jwilson.coe.uga.edu. Pristupljeno 12. 12. 2017. 
  5. ^ Megiddo, N. (1983). „Linear-time algorithms for linear programming in R3 and related problems”. SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759—776. S2CID 14467740. doi:10.1137/0212052. 
  6. ^ Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
  7. ^ Blåsjö, Viktor (2005). „The Evolution of the Isoperimetric Problem”. Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526—566. JSTOR 30037526. doi:10.2307/30037526. 
  8. ^ 1999, Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c). „Vagn Lundsgaard Hansen”. www2.mat.dtu.dk. Pristupljeno 2017-12-12. 
  9. ^ „Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.”. gogeometry.com. Pristupljeno 2017-12-12. 
  10. ^ Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
  11. ^ Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 . 

Literatura uredi

Spoljašnje veze uredi