Kovarijantan izvod
Kovarijantan izvod u diferencijalnoj geometriji predstavlja generalizaciju opštega izvoda za tenzorska polja i vektore u krivolinijskim koordinatnim sistemima. Kovarijantni izvod tenzorskoga polja u smeru tangentnoga vektora označava se . Označava se na više različitih načina Za vektor kovarijantni izvod je dan sa sledećom formulom:
Paralelni transport uredi
Kovarijantni i obični izvod ne razlikuju se za skalarne funkcije, ali razlikuje se za vektore i tenzore. Za uobičajen Dekartov koordinatni sistem dobro je definisano oduzimanje vektora, koji se nalaze u različitim tačkama prostora. Dva vektora se oduzmu tako da se jedan od njih translatuje do drugoga i onda se se izvrši oduzimanje. Za krivolinijske koordinate paraleni transport ili translacija vektora izvodi se tako da se vektor translatuje do drugoga vektora, ali pošto u krivolinijskim koordinatama translacija nije ista kao u ravnom koordinatnom sistemu pojavljuje se razlika prilikom translacije u dva različita sistema.
Izvod formule uredi
Kada u krivolinijskom sistemu oduzimamo dva vektora pored uobičajene razlike dva vektora u pravougaonom sistemu imamo i dodatnu razliku zbog paralelnoga transporta jednoga vektora do drugoga.
Neka u vektor ima vrednost a u nekoj tački vrednost Ako vektor transportujemo do on se zbog paralelnoga transporta u krivolinijskim koordinatama promeni za Ukupna razlika dva vektora postaje onda:
Tu se koristi Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta. Paralelni transport zavisan je od Kristofelovih simbola:
Pošto je dobija se:
odnosno
Kovarijantni izvod za tenzore uredi
Postoji više različitih oznaka za kovarijantan izvod: npr:
Kovarijantni izvod vektorskoga polja je:
Ukoliko se radi o sistemu, koji nema zakrivljene koordinate ili ako su Hristofelovi koeficijenti jednaki nuli onda se kovarijantan izvod za vektore ne razlikuje od običnoga izvoda.
Kovarijantni izvod skalarnoga polja jednak je običnom izvodu:
a kovarijantni izvod kovektorskoga polja je
Kovarijantni izvod tenzorskoga polja je
tj.
Za mešano tenzorsko polje imamo:
a za tenzorsko polje polje tipa (0,2) kovarijantan izvod je:
Kovarijantni izvod za neki tenzor tipa (n, m) je:
Literatura uredi
- Kovarijantan izvod
- Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
- Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall