Konstrukcije lenjirom i šestarom

Konstrukcije lenjirom i šestarom u geometriji su skup zadatih geometrijskih pravila poznat iz antičkih vremena. To je izraz koji se koristi da opiše stroga uputstva, pravila, za način rešavanja zadatka ili konstrukcije. Prvi put se pojavljuje u staroj Grčkoj među geometrima kojima je dozvoljeno da za rešavanje matematičkog problema koriste samo dva alata:

• lenjir, ravnalo, koji je neobeležen, služi za povlačenje linije između dve tačke. Linija se može produžiti na obe strane. Lenjir se u toku crtanja ne sme pomerati. Na lenjiru nije dozvoljeno ostavljati oznake odnosno koristiti lenjir sa obeleženim rastojanjima.
• šestar, služi za crtanje kruga iz proizvoljne tačke, sa proizvoljnim poluprečnikom. Tokom crtanja se otvor šestara ne može menjati niti se otvor šestara pamti kada se šestar podigne.

Postoje naznake da su geometri koristili i alat pravougaonik (vinklu), ali se on računao kao priručno pomagalo i nije vrednovan ravnopravno sa prethodna dva.

Implicitno se podrazumeva da se postupak konstrukcije obavlja u konačnom broju koraka. Ovo su prilično stroga ograničenja i Heleni su ih se pridržavali. Pogotovo je bitno da ova ograničenja važe i za poznate probleme antičke matematike.

Legendarni problemi antičke matematike

Helenski su matematičari sebi postavljali i rešavali brojne probleme. Među njima najzanimljiviji su geometrijski, a među njima upravo oni koji ni posle brojnih generacija briljantnih antičkih umova nije nađeno egzaktno rešenje prema postavljenim pravilima:

• Problem trisekcije ugla -

konstruisati trećinu datog, proizvoljnog ugla,

• Problem kvadrature kruga -

konstruisati kvadrat iste površine kao i dati krug, i

• Problem dupliranja kocke -

konstruisati kocku dvostruko veće zapremine od date kocke.

Nijedan od prethodnih problema nije rešiv na način lenjirom i šestarom. Heleni su vekovima tražili rešenja, ali nisu bili uspešni u tome.

Usput su dolazili do značajnih zaključaka, osobina kupinih preseka i drugih krivih linija. Pronalazili su mehaničke naprave i njima konstruisali krive (kvadratrisa, konoida) koje su imale analitičke osobine zbog kojih je bilo moguće rešiti neku od traženih konstrukcija. Međutim, ovo su zvali mehanička rešenja i posmatrali su ih odvojeno od lenjira i šestara.

Geometrijskim metodama nije moguće potvrditi ni opovrgnuti mogućnost datih konstrukcija. Mnogo kasnije razvoj matematičke analize i algebre je doprineo pronalaženju dokaza o nemogućnosti konstrukcija. Francuski matematičar Pjer Vencel je 1830. godine dokazao nemogućnost rešenja prvog i trećeg zadatka. Poslednji je dokaz Ferdinanda fon Lindemana iz 1882. godine o transcedentnosti broja π čime je, posredno, potvrđeno da π nije konstruktibilan. Time je i poslednji problem, kvadratura kruga, definitivno skinut sa dnevnog reda.

Euklidovi postulati

Prva knjiga Euklidovih Elemenata sadrži pet postulata kojima su date činjenice u vezi konstrukcija. Prva tri su uputstvo kako se mogu koristiti alati za rešavanje zadataka i konstrukcije, lenjir i šestar.

Neka je dato da je:

• Postulat I

moguće povući pravu liniju između bilo koje dve tačke,

• Postulat II

moguće produžiti pravu liniju na obe strane dokle god,

• Postulat III

moguće opisati krug iz bilo kog centra sa bilo kojim poluprečnikom.

Ovo je jedino moguće uraditi lenjirom i šestarom. Za ilustraciju strogosti neka posluži da nije dozvoljeno šestarom uzeti rastojanje između dve tačke pa potom preneti to rastojanje na neku duž. Takođe nije dozvoljeno lenjirom izmeriti rastojanje i preneti ga na drugu duž.

Ova pravila su poznata mnogo pre Euklida i smatra se da su ih pitagorejci postavili. Prvi matematičar koji se spominje u smislu navođenja ovih strogih uputstava je Oenopides iz Hiosa.

Prvi matematičar zabeležen da se bavio kvadraturom kruga, naravno lenjirom i šestarom, je Anaksagora oko 450. p. n. e..

Vidi još

• Konstruktabilni brojevi
• Konstruktabilni mnogouglovi

Spoljašnje veze

• Trisekcija ugla po Hipokratu
• Razne konstrukcije korišćenjem šestara i lenjira uz interaktivna uputstva korak po korak