Koplanarnost

Koplanarnost je pojam iz oblasti geometrije, i označava osobinu niza tačaka da se nalaze u istoj ravni. Tri tačke su uvek koplanarne a, ako nisu kolinearne, takođe jednoznačno definišu i ravan u kojoj se nalaze. Dodavanjem četvrte tačke skupu od tri nekolinearne tačke se već dolazi u situaciju kada ona mora da zadovoljava određene uslove, kako bi sve četiri tačke bile koplanarne.

Načini utvrđivanja koplanarnostiUredi

Ovo poglavlje razmatra načine utvrđivanja koplanarnosti četiri različite i nekolinearne tačke, A, B, C i D. Ukoliko su najmanje dve od četiri tačke kolinearne, takođe su i koplanarne. Ukoliko ima više od četiri tačke, uvek se mogu izabrati tri stalne, i onda od ostalih uzimati jedna po jedna i testirati na koplanarnost sa njima.

Pritom će stanje koplanarnosti označavati iskaz da tačke A, B, C i D pripadaju ravni α, koju formiraju tačke A, B i C:

 

Linearna zavisnostUredi

Ako su četiri tačke koplanarne, vektori, koji se njima mogu formirati, moraju biti linearno zavisni. Drugim rečima, ovo bi značilo da verktor   može da se izrazi kao linearna kombinacija vektora   i  :

 

Ovo isto važi i za druge kombinacije tj.   se može izraziti kao linearna kombinacija   i  , a   se može izraziti kao linearna kombinacija   i  .

Preko zapremine definisanog paralelopipedaUredi

Četiri tačke određuju tri vektora, što je dovoljno da bi se njima definisao jedan paralelopiped. Ako bi sve ove tačke ležale u jednoj ravni, to bi značilo da je njegova visina jednaka nuli. Dalja implikacija ovoe osobine bi bila da je i zapremina tog paralelopipeda jednaka nuli. Iz ovog proizilazi da su tačke koplanarne ukoliko je zapremina ovako određenog paralelopipeda jednaka nuli.

U trodimenzionom prostoru možemo koristiti mešoviti proizvod, koji je ekvivalent površine:

 

Ova zavisnost se takođe može izraziti kroz uslov vrednosti determinante:

 [1]

Ovo se isto može izraziti kroz uslov za determinantu vektora koje obrazuju ove tačke:

 

Pri čemu su upotrebljeni vektori:

 

ReferenceUredi