Kroneker delta funkcija

U matematici, Kroneker delta ili Kronekerova delta, nazvana po Leopoldu Kronekeru (1823-1891), je funkcija dve promenljive, obično dva cela broja, koja uzima vrednost 1 ukoliko su brojevi isti, a 0 u suprotnom. Tako, na primer, $\delta _{12}=0$, a $\delta _{33}=1$. Označava se kao simbol δ_ij, i više se koristi kao notacijska skraćenica, nego kao funkcija.

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=j\\0,&i\neq j\end{matrix}}\right.$

Često se koristi i notacija $\delta _{i}$.

$\delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&i=0\\0,&i\neq 0\end{matrix}}\right.$

Svojstva Kroneker delta funkcije

Kroneker delta funkcija poseduje svojstvo tzv. prosejavanja za $j\in \mathbb {Z}$, takvo da je:

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.$

Ovo svojstvo je slično jednom od glavnih svojstava Dirakove delta funkcije:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

a, zapravo, Dirakova delta funkcija je i nazvana po Kroneker delta funkciji zbog ovog svojstva.

Kroneker delta funkcija se koristi u mnogim oblastima matematike. Na primer, u lineranoj algebri, jedinična matrica se može pisati kao $\delta _{ij}\,$, dok ako se posmatra kao tenzor, Kroneker tenzor, može se obeležiti kao $\delta _{i}^{j}$ sa kontravarijantnim indeksom j.

Proširenja Kroneker delta funkcije

Na isti način, možemo definisati analognu, višedimenzionalnu funkciju više promenljivih

$\delta _{i_{1}i_{2}...i_{n}}^{j_{1}j_{2}...j_{n}}:=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}.$

Ova funkcija uzima vrednost 1 ako i samo ako svi gornji indeksi imaju istu vrednost kao odgovarajući donji, a 0 u suprotnom.