Lijeva grupa

U matematici, Lijeva grupa je grupa koja je istovremeno i glatka mnogostrukost, pri čemu su operacije grupe glatke funkcije elemenata grupe. Lijeve grupe su važne u matematičkoj analizi, fizici i geometriji jer se pomoću njih opisuju simetrije raznih struktura.

Lijeve grupe se danas koriste u svim oblastima savremene matematike, kao i u velikom delu teorijske fizike. One omogućavaju izučavanje „neprekidnih simetrija“, dakle simetrija koje na drugim matematičkim objektima dejstvuju neprekidno. Teoriju ovih grupa zasnovao je 1870. norveški matematičar Sofus Li kako bi formalizovao ideju „infinitezimalne transformacije“, koju je želeo da primeni na diferencijalne jednačine i njihove simetrije. Od 1920-ih godina Lijeve grupe su postale delom matičnog toka matematike, a njihovim izučavanjem najneposrednije se bavi teorija reprezentacija.

Jednostavni primeri

Realne inverzibilne 2 × 2 matrice

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}},$ $ad-bc\neq 0$

čine grupu u odnosu na množenje matrica, poznatu kao puna linearna grupa GL₂R. Ako skup ovih matrica na očigledan način posmatramo uložene kao podskup od R⁴, one čine otvoren podskup, koji od R⁴ nasleđuje topologiju i diferencijalnu strukturu glatke 4-mnogostrukosti. Pritom su množenje matrica i operacija nalaženja inverzne matrice racionalne, pa dakle i glatke funkcije argumenata, te je GL₂R Lijeva grupa. Grupa GL₂R nije povezana; komponenta povezanosti jedinične matrice jeste grupa GL₂⁺R matrica pozitivne determinante, koja je i sama Lijeva grupa.

2 × 2 matrice rotacija čine podgrupu od GL₂R, koju označavamo sa SO_{2R. Ovo je jednodimenziona, kompaktna mnogostrukost difeomorfna sa krugom S¹, jer svakom uglu φ od 0 do 2π odgovara (glatko) matrica rotacije}

${\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \\\end{bmatrix}}.$

SO_{2R je Lijeva grupa jer su operacije množenja i inverza glatke (u većoj grupi GL2R, pa dakle i ovde). U slučaju grupe SO2R to možemo videti i direktno tako što se operacija grupe podudara sa uobičajenom operacijom sabiranja na S¹ ≅ R / 2πZ – proizvod matrica rotacije koje odgovaraju uglovima φ i ψ je matrica rotacije koja odgovara uglu φ + ψ.}

Definicije

Lijeva grupa (u osnovnom značenju: realna Lijeva grupa) jeste grupa na kojoj je zadata i diferencijabilna struktura koja je čini konačno-dimenzionalnom realnom glatkom mnogostrukošću, pri čemu su grupne operacije množenja i inverznog elementa glatka preslikavanja.

Postoji nekoliko srodnih pojmova. Kompleksna Lijeva grupa, poput SL₂C se definiše na isti način koristeći kompleksne mnogostrukosti, i slično za p-adske Lijeve grupe nad poljem p-adskih brojeva. Beskonačno-dimenziona Lijeva grupa jeste grupa sa kompatibilnom diferencijabilnom strukturom beskonačno-dimenzione glatke mnogostrukosti. Grupe matrica, poput ortogonalne i simplektičke grupe, i algebarske grupe daju najčešće primere Lijevih grupa.

Analogne strukture mnogih Lijevih grupa se mogu definisati i nad konačnim poljima, u kom slučaju govorimo o grupama Lijevog tipa, koje daju veliki broj tipova konačnih prostih grupa.

Glison, Montgomeri i Zipin su 1950-ih godina pokazali da za svaku (topološku) mnogostrukost G sa neprekidnim operacijama grupe postoji tačno jedna analitička struktura na G koja je pretvara u Lijevu grupu (vidi Hilbertov peti problem).

Jezikom teorije kategorija, Lijeva grupa je grupni objekat u kategoriji glatkih mnogostrukosti.

Primeri Lijevih grupa

• Euklidski prostor Rⁿ je Abelova Lijeva grupa u odnosu na uobičajeno sabiranje vektora.
• Grupa GL_nR inverzibilnih matrica reda n (u odnosu na množenje matrica) jeste Lijeva grupa dimenzije n², koju zovemo opšta linearna grupa, ili „puna linearna grupa“. Matrice determinante 1 čine jednu njenu podgrupu, SL_nR, koja je takođe Lijeva grupa, dimenzije n² − 1, koju nazivamo specijalna linearna grupa.
• Ortogonalna grupa O_nR je Lijeva grupa dimenzije n (n − 1) / 2 koju čine ortogonalne matrice reda n. Čine je rotacije i refleksije prostora Rⁿ. Matrice determinante 1 čine podgrupu indeksa 2, specijalnu ortogonalnu grupu SO_nR.
• Unitarna grupa U(n) je kompaktna Lijeva grupa dimenzije n² koju čine unitarne matrice. (Pažnja, ovo je realna Lijeva grupa čiji su elementi predstavljeni kompleksnim matricama.) Elementi determinante 1 čine podgrupu, specijalnu unitarnu grupu SU(n).
• Spinorne grupe su dvostruka natkrivanja specijalnih ortogonalnih grupa, koje se koriste npr. u izučavanju fermiona u kvantnoj teoriji polja.
• Simplektička grupa Sp_2nR je Lijeva grupa koja se sastoji od 2n × 2n matrica koje ostavljaju simplektičku formu invarijantnom.
• Sfere S¹ i S³ postaju Lijeve grupe ako se operacija grupe na njima definiše poistovećivanjem sa grupom kompleksnih brojeva, odnosno kvaterniona apsolutne vrednosti 1. Nema drugih sfera sa strukturom Lijeve grupe. Lijeva grupa S¹ (-{ ≅ SO₂R) se ponekad naziva kružnom grupom.
• Grupa gornje-trougaonih n ×n matrica je rešiva Lijeva grupa dimenzije n (n + 1) / 2.
• Lorencova grupa i Poenkareova grupa su grupe izometrija prostor-vremena Minkovskog. Ove grupe, dimenzija 6 i 10, koriste se u specijalnoj teoriji relativnosti.
• Hajzenbergova grupa H₃R je Lijeva grupa dimenzije 3 koja se koristi u kvantnoj mehanici.
• Klasična metaplektička grupa je Lijeva grupa dimenzije 3 koja je dvostruko natkrivanje grupe SL₂R. Metaplektička grupa ne može biti predstavljena kao grupa matrica. Metaplektička grupa i njene opštije verzije koriste se u teoriji modularnih formi.
• Vanserijske Lijeve grupe tipa G₂, F₄, E₆, E₇ i E₈ imaju dimenzije 14, 52, 78, 133 i 248. Postoji i grupa E_7½ dimenzije 190.