Maksvelove jednačine

Maksvelove jednačine su osnovne jednačine elektromagnetizma. Naziv su dobile po škotskom fizičaru Džejmsu Maksvelu koji je 1864. godine objavio prvi put rad sa jednačinama koje objašnjavaju elektromagnetske pojave. Ovime je objašnjeno jedinstvo električnog i magnetnog polja i njihova uzročno-posledična povezanost. Neke od ovih jednačina su bile poznate i pre ovog rada, ali ih je Maksvel prvi objedinio i dopunio svojim otkrićima. Pojedine jednačine su poznate i pod nazivima Gausov zakon, Gausov zakon magnetizma, Faradejev zakon i Amperov zakon (sa Maksvelovom ispravkom). Ovaj skup jednačina opisuje električno i magnetno polje u prostoru i njihovu zavisnost od gustine naelektrisanja i električnih struja. Neki put se ovom skupu pridruži i Lorencova jednačina. Ove jednačine opisuju svet elektromagnetnih interakcija u makroskopskom svetu i zovu ih jednačinama klasičnog elektromagnetizma.

Amperov zakon je fizički zakon koji izražava činjenicu da magnetno polje nastaje kao posledica kretanja električnih naboja.

Prikaz električnog polja koje okružuje pozitivni (crveno) i negativni (plavo) električni naboj.

Prikaz električnog polja između dva tačkasta električna naboja.

Polarizovani dielektrični materijal.

Radijalno (poprečno) električno polje pozitivne kugle.

Magnetno polje je prostor oko prirodnih i veštačkih magneta i unutar njih u kojem deluju magnetske sile.

Magnetno polje prstenastog magneta.

Prikaz jednačina

Za razumevanje sledećih jednačina potrebno je poznavati osnove vektorske analize. Maksvelove se jednačine mogu prikazati u diferencijalnom i integralnom obliku. Ekvivalencija između ovih oblika zasniva se na Stoksovoj i Gaus-Ostrogradski teoremima. Takođe postoji i četvorodimenzionalni oblik koji se koristi u teoriji relativnosti i kvantnoj elektrodinamici.

Univerzalni oblik Maksvelovih jednačina opisuje elektromagnetne fenomene u vakuumu, a u diferencijalnoj formi (u SI sistemu) glasi:

$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\cdot \epsilon _{0}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

gde je:

$\rho \$ - gustina električnog naboja ili količina električnog naboja po jedinici zapremine,

$\mathbf {J} \$ - gustina električne struje, tok električnog naboja po jedinici površine u jedinici vremena,

$\epsilon _{0}\$ - dielektrična konstanta vakuuma (permitivnost),

$\mu _{0}$ - permeabilnost vakuuma, a jednaka je:

$\mu _{0}={1 \over {\varepsilon _{0}\cdot c^{2}}}$

gde je $c\$ brzina svetlosti.

U Maksvelovim jednačinama implicitno se pretpostavlja da vredi jednačina kontinuiteta:

${\partial {\rho } \over \partial t}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$

Ovo je zapravo zakon očuvanja naboja. Za svaku zatvorenu povšinu u prostoru vredi da je tok struje koja prolazi kroz tu zatvorenu površinu jednak negativnoj promeni količine naboja u tom prostoru.

Za potpuni opis elektromagnetskih fenomena pored Maksvelovih jednačina nužna je i jednačina za Lorencovu silu, kako bi se iz polja mogla odrediti sila:

$\mathbf {F} =q\cdot (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

Sažeti prikaz Maksvelovih jednačina u SI jedinicama

diferencijalni oblik	povezujuća teorema	integralni oblik
Gausov zakon: izvor električnog polja je električni naboj.	Gausov	Električni tok kroz zatvorenu ploču jednak je ukupnom električnom naboju u njenoj unutrašnjosti.
$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\mathrm {d} V$
Magnetno polje nema izvora (ne postoje magnetski monopoli).	Gausov	Magnetni tok kroz bilo koju zatvorenu površinu jednak je nuli.
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial V}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Faradajev zakon indukcije: svaka promena magnetnog polja stvara električno polje.	Stoksov	Integral vektora električnog polja po zatvorenoj krivoj jednak je negativnoj promeni po vremenu magnetnog toka obuhvaćenog tom krivom.
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$
Prošireni Amperov zakon: oko provodnika kojim teče električna struja indukuje se magnetno polje, ali i svako promenjivo električno polje će indukovati magnetno polje.	Stoksov	Integral vektora jačine magnetnog polja po zatvorenoj krivoj jednak je zbiru struje i vremenske promene električnog toka obuhvaćenih tom krivom.
$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\Leftrightarrow$	$\oint _{\partial A}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int _{A}\mu _{0}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{A}\mu _{0}\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

U gornjim jednačinama korišteni su simboli SI mernih jedinica :

Simbol	Značenje	SI jedinice mere
$\mathbf {E}$	električno polje	volt po metru ili, njutn po kulonu
$\mathbf {H}$	magnetsko polje	amper po metru
$\mathbf {D}$	električna indukcija	kulon po kvadratnom metru
$\mathbf {B}$	magnetska indukcija	tesla, ili, veber po kvadratnom metru
$\ \rho \$	gustina naelektrisanja	kulon po kubnom metru
$\mathbf {J}$	gustina električne struje	amper po kvadratnom metru
$\mathrm {d} \mathbf {A}$	odsečak površine po kojoj se integrali	kvadratni metar
$\mathrm {d} V\$	deo prostora obuhvaćenog zatvorenom površinom S	kubni metar
$\mathrm {d} \mathbf {l}$	deo konture koja okružuje površinu S	metar
$\nabla \cdot$	operator divergencije	po metru
$\nabla \times$	rotor operator	po metru

U tabeli su navedene osnovne merne jedinice, ali često se te fizičke veličine izražavaju i u drugim jedinicama. Drugi zakon, zakon magnetskog fluksa, navodi činjenicu da magnetskih monopola u prirodi nema. Postoje samo dipoli a jedini izvor magnetnog polja je električna struja i promenljivo električno polje. Faradejev zakon pokazuje, da je promenljivo (nestatičko) magnetno polje (B) uzrok nastanka električnog polja.

Objašnjenje Maksvelovih jednačina

Prva jednačina govori da je električni naboj izvor (ili ponor) električnog polja. Ukupni električni tok kroz zatvorenu površinu proporcionalan je količini električnog naboja koji se nalazi unutar zapremine te površine. Ako unutar te zatvorene površine nema električnog naboja (ili je količina pozitivnog jednaka količini negativnog električnog naboja), ukupni električni tok kroz tu zatvorenu površinu je nula. To ne znači da u toj zapremini uopšte nema električnog polja, već samo da ukupni tok iščezava. Dakle, ako nema električnog naboja u toh posmatranoj zapremini, koliko silnica električnog polja ulazi kroz površinu koja opisuje zapreminu, toliko silnica negde i izlazi iz te iste zatvorene površine.

Druga Maksvelova jednačina slična je prvoj (u situaciji u kojoj ne postoji naboj), ali opisuje magnetno polje. Ova jednačina izriče da ne postoji „magnetni naboj” (magnetni monopol), to jest ne postoji izvor magnetnog polja, iz kojega bi proizlazio magnetni tok različit od nule. U svakoj tački prostora, količina silnica magnetnog polja koja ulazi u tu tačku jednaka je količini silnica koje izlaze iz te tačke, silnice magnetnog polja nemaju izvora (ili ponora). Stoga ukupni magnetni tok kroz zatvorenu površinu uvek iščezava. To vredi i za izvore magnetnog polja, stoga je svaki izvor magnetnog polja barem dipol.

Maksvelove jednačine u makroskopskom mediju (sredstvu)

Maksvelove jednačine opisuju ponašanje električnog i magnetnog polja svugde u prostoru, ako su poznati svi izvori, to jest naboji i struje. U opisu makroskopskih objekata takav pristup nije moguć iz dva razloga. Prvo, broj naelektrisanih čestica u atomima i nuklearnim jezgrama vrlo je velik. Drugi je razlog da sa makroskopske tačke gledanja, svi detalji u ponašanju polja i naboja na atomskim i molekularnim dimenzijama nisu relevantni. Ono što je bitno, to je prosečna vrednost polja i izvora u zapremini koja je velika u poređenju sa jednim atomom ili molekulom. Ovakve prosečne vrednosti nazivaju se makroskopska polja i makroskopski izvori. U ovom slučaju Maksvelove jednačine poprimaju oblik:

$\nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho _{slob.}}$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0$

$\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}={\mathbf {J} _{slob.}}$

gde je:

$\mathbf {D} \$ - polje električnog pomaka,

$\mathbf {H} \$ - magnetizirajuće polje,

${\rho _{slob.}}\$ - gustina slobodnog električnog naboja (ukupna gustina električnog naboja minus gustina vezanih električnih naboja),

${\mathbf {J} _{slob.}}\$ - gustina slobodne električne struje (ukupna gustina električne struje minus gustina vezanih električnih struja).

Veličine $\mathbf {D} \$ i $\mathbf {H} \$ nije jednostavno odrediti, jer je u njima sadržana celokupna složenost interakcije polja i sredstva (medija, to jest materijala u kojem se polje nalazi). Moguće je da ove veličine zavise od prethodnog stanja sredstva (histerezis), takođe je moguće da su nelinearne i prostorno anizotropne. Ove jednačine za polja u sredstvu nisu toliko univerzalne kao početno navedene jednačine. Ipak, J. K. Maksvel ih je na sličan način prvobitno formulisao. Veze između $\mathbf {E} \$ i $\mathbf {D} \$ te između $\mathbf {B} \$ i $\mathbf {H} \$ zovu se konstitutivne relacije.

U najjednostavnijem slučaju pretpostavlja se, da su električna i magnetska svojstva sredstva homogena i izotropna, te da se polja ne menjaju intenzivno u vremenu. U stvarnosti to vredi za dielektrične i paramagnetske materijale. Tada spoljašnje električno polje stvara polarizaciju $\mathbf {P} \$, koja je linearno proporcionalna električnom polju, dok magnetno polje stvara magnetizaciju $\mathbf {M} \$ proporcionalnu magnetnom polju, te vredi:

$\mathbf {P} \ =\chi _{e}\cdot \epsilon _{0}\cdot \mathbf {E}$

$\mathbf {M} \ =\chi _{m}\cdot \mathbf {H}$

Tada je:

$\mathbf {D} \ =\epsilon _{0}\cdot \mathbf {E} +\mathbf {P} =\epsilon _{0}\cdot (1+\chi _{e})\cdot \mathbf {E} =\epsilon \cdot \mathbf {E}$

$\mathbf {B} =\mu _{0}\cdot (\mathbf {H} +\mathbf {M} )=\mu _{0}\cdot (1+\chi _{m})\cdot \mathbf {H} =\mu \cdot \mathbf {H}$

Opis zakona

Gausov zakon

Gausov zakon opisuje odnos među statičkim električnim poljem i naelektrisanja koje stvara to polje.

Vidi još

• Lorencova sila
• Bio-Savarov zakon
• Kulonov zakon

Literatura

• On Faraday's Lines of Force – 1855/56 Maxwell's first paper (Part 1 & 2) – Compiled by Blaze Labs Research (PDF)
• On Physical Lines of Force – 1861 Maxwell's 1861 paper describing magnetic lines of Force – Predecessor to 1873 Treatise
• James Clerk Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459–512 (1865). (This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the Royal Society.)
  • A Dynamical Theory Of The Electromagnetic Field – 1865 Maxwell's 1865 paper describing his 20 Equations, link from Google Books.
• J. Clerk Maxwell (1873) A Treatise on Electricity and Magnetism
  • Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 1 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
  • Maxwell, J.C., A Treatise on Electricity And Magnetism – Volume 2 – 1873 – Posner Memorial Collection – Carnegie Mellon University
• Joseph Larmor (1897) "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (third and last in a series of papers with the same name).
• Hendrik Lorentz (1899) "Simplified theory of electrical and optical phenomena in moving systems", Proc. Acad. Science Amsterdam, I, 427–43.
• Hendrik Lorentz (1904) "Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity less than that of light", Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669–78.
• Henri Poincaré (1900) "La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction", Archives Néerlandaises, V, 253–78.
• Henri Poincaré (1902) La Science et l'Hypothèse
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
• Catt, Walton and Davidson. "The History of Displacement Current". Wireless World, March 1979. Arhivirano na sajtu Wayback Machine (6. maj 2008)
• Imaeda, K. (1995), "Biquaternionic formulation of Maxwell’s Equations and their solutions", Clifford Algebras and Spinor Structures (editors—Rafał Ablamowicz, Pertti Lounesto) Springer; . doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Maxwell equations”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• maxwells-equations.com — An intuitive tutorial of Maxwell's equations.
• Mathematical aspects of Maxwell's equation are discussed on the Dispersive PDE Wiki.
• Electromagnetism (ch. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Lecture series: Relativity and electromagnetism, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Electromagnetic waves from Maxwell's equations on Project PHYSNET.
• MIT Video Lecture Series (36 × 50 minute lectures) (in .mp4 format) – Electricity and Magnetism Taught by Professor Walter Lewin.
• -author= -
• Nature Milestones: Photons – Milestone 2 (1861) Maxwell's equations