Metrika (matematika)

Za drugu upotrebu, pogledajte stranicu Metrika.

U matematici, metrika ili funkcija razdaljine je funkcija koja definiše udaljenost između elemenata nekog skupa. Skup sa metrikom se naziva metrički prostor. Metrika indukuje topologiju na skupu, ali nisu sve topologije generisane metrikama.

U diferencijalnoj geometriji, reč metrika se takođe koristi za strukturu definisanu samo na vektorskom prostoru, za koju je pravilniji izraz metrički tenzor (ili Rimanova ili pseudo-Rimanova metrika).

Definicija

Metrika na skupu X je funkcija (funkcija razdaljine ili prosto razdaljina)

d : X × X → R

(gde je R skup realnih brojeva). Za svako x, y, z iz X, ovakva funkcija mora da zadovoljava sledeće uslove:

1. d(x, y) ≥ 0     (nenegativnost)
2. d(x, y) = 0   ako i samo ako   x = y
3. d(x, y) = d(y, x)     (simetrija)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (subaditivnost / nejednakost trougla).

Za skupove na kojima je definisano sabiranje + : X × X → X, funkciju d nazivamo translaciono invarijantnom metrikom ako

d(x, y) = d(x + a, y + a)

za svako x, y i a iz X.

Ako se drugi uslov izostavi, funkcija se naziva pseudometričkom. Ako se izostave drugi i treći uslov, dobija se hemimetrika.

Ako se izostavi samo treći uslov, tada je funkcija kvazimetrička.

Ako se izostave svi uslovi osim prvog (ako ostane samo uslov pozitivnosti, i da je d(x,x)=0), tada je funkcija prametrička.

Ako se izostavi samo četvrti uslov (nejednakost trougla), tada je funkcija semimetrička. Semimetrika je poseban slučaj prametrike.

Ako se nejednakost trougla ojača u uslov

d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z) )

metrika se naziva ultrametrika.

Napomene

Ovi uslovi izražavaju intuitivne poznate osobine koncepta razdaljine. Na primer, razdaljina između dve tačke je pozitivna, i razdaljina od x do y je jednaka razdaljini od y do x. Nejednakost trougla znači da razdaljina između x i z, nije veća od razdaljine ako se ide prvo iz x u y, a zatim iz y u z. Euklid je u svom radu istakao da je najkraća putanja između dve tačke prava linija; ovo je nejednakost trougla za njegovu geometriju.

Svojstvo 1 (d(x, y) ≥ 0) sledi iz svojstava 2 i 4 i ne mora da bude zahtevano zasebno.

Primeri

• Diskretna metrika: ako x = y onda d(x,y) = 0. Inače, d(x,y) = 1.
• Euklidska metrika je invarijantna u odnosu na translaciju i rotaciju.
• Menhetn metrika je invarijantna u odnosu na translaciju.
• Opštije uzev, svaka metrika indukovana normom (vidi ispod) je invarijantna u odnosu na translaciju.
• Ako je (p_n)_n∈N niz seminormi koje definišu (lokalno konveksan) topološki vektorski prostor E, onda

$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}$

je metrika koja definiše istu topologiju. (${\frac {1}{2^{n}}}$ se može zameniti svakim sumabilnim nizom $(a_{n})$ strogo pozitivnih brojeva.)

Ekvivalencija metrika

Za dati skup X, za dve metrike d₁ i d₂ se kaže da su topološki ekvivalentne (uniformno ekvivalentne) ako je preslikavanje

id: (X,d₁) → (X,d₂)

homeomorfizam (uniformni izomorfizam).

Na primer, ako je $d$ metrika, onda su $\min(d,1)$ i ${d \over 1+d}$ metrike ekvivalentne metrici $d.$

Odnos normi i metrika

Ako je dat normirani vektorski prostor |.||) možemo da definišemo metriku na X kao

|x-y||.

Za metriku d se kaže da je indukovana normom ||.||.

Obratno, ako metrika d na vektorskom prostoru X zadovoljava svojstva

• d(x,y) = d(x+a,y+a) (translaciona invarijantnost)
• α|d(x,y)

ond amožemo da definišemo normu na X kao

|x||:=d(x,0)