Metrički prostor

U matematici, metrički prostor je skup na kome je definisan pojam razdaljine (metrika) između elemenata skupa. Metrički prostor koji najviše odgovara našem poimanju prostora je 3-dimenzioni euklidski prostor. Euklidska metrika ovog prostora definiše razdaljinu između dve tačke kao dužinu prave linije koja ih spaja. Geometrija prostora zavisi od izabrane metrike, i korišćenjem neke druge metrike možemo da konstruišemo interesantne neeuklidske geometrije poput onih koje se koriste u opštoj teoriji relativnosti.

Metrički prostor indukuje topološka svojstva poput otvornih i zatvorenih skupova koja vode u izučavanje još apstraktnijih topoloških prostora.

Istorija

Moris Freše je uveo metrička polja u svom radu Sur quelques points du calcul fonctionnel iz 1906. godine.

Definicija

Metrički prostor je par (M, d) gde je M skup a d je metrika na M, to jest funkcija

$d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$

takva da

1. d(x, y) ≥ 0     (nenegativnost)
2. d(x, y) = 0   ako i samo ako   x = y
3. d(x, y) = d(y, x)     (simetrija)
4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (nejednakost trougla).

Funkcija d se takođe naziva funkcijom razdaljine ili prosto razdaljinom. Često se d izostavlja, i piše se samo M za metrički prostor ako je iz konteksta jasno koja metrika se koristi. Uklanjanje jednog ili više od gorenavedenih uslova daje pseudometrički prostor, kvazimetrički prostor, hemimetrički prostor, semimetrički prostor ili najopštije prametrički prostor.

Prvi od ova četiri uslova u stvari sledi iz ostala tri, jer:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Ispravnije je reći da je ovo svojstvo metričkog prostora, ali je u mnogim udžbenicima uključeno u definiciju.

Neke definicije zahtevaju da M bude neprazan skup.

Metrički prostori kao topološki prostori

Posmatranje metričkog prostora kao topološkog prostora je toliko konzistentno da se radi gotovo o delu definicije.

Oko bilo koje tačke -{x} u metričkom prostoru M definišemo otvorenu kuglu poluprečnika r (>0) oko x kao skup

B(x; r) = {y in M : d(x,y) < r}.

Ove otvorene kugle generišu topologiju na M, što ga čini topološkim prostorom. Eksplicitno, podskup od M se naziva otvorenim ako je unija (konačno ili beskonačno mnogo) otvorenih kugli. Komplement otvorenog skupa se naziva zatvorenim.

Kako su metrički prostori topološki prostori, javlja se pojam neprekidne funkcije između metričkih prostora. Ova definicija je ekvivalentna uobičajenoj epsilon-delta definiciji neprekidnosti (koja se ne odnosi na topologiju), i takođe se može direktno definisati pomoću limesa nizova.

Primeri metričkih prostora

• Realni brojevi sa funkcijom razdaljine y − x| date apsolutnom vrednošću, i opštije euklidski n-prostor sa euklidskom razdaljinom, su kompletni metrički prostori.
• Racionalni brojevi sa istom funkcijom razdaljine takođe čine metrički prostor, ali on nije kompletan.
• Hiperbolički prostor.
• Svaki normirani vektorski prostor je metrički prostor definisanjem |y − x|| (Ako je takav prostor kompletan, onda se zove Banahov prostor).
• Diskretna metrika, gde je d(x,y)=1 za sve x različite od y i d(x,y)=0 u suprotnom, je prost ali važan primer, i može se primeniti na sve neprazne skupove. Ovo takođe pokazuje da se sa svakim nepraznim skupom može povezati metrički prostor.
• Levenštajnovo rastojanje, (edit rastojanje) je mera različitosti između dve niske u i v. Rastojanje je minimalni broj brisanja, umetanja i zamene karaktera, neophodnih da bi se niska u transformisala u nisku v.
• Ako je M povezana Rimanova mnogostrukost, onda možemo da pretrovimo M u metrički prostor definisanjem razdaljine između dve tačke kao infimum dužina putanja (neprekidno diferencijabilnih krivih) koje ih povezuju.
• Ako je G neusmeren povezan graf, tada skup čvorova V iz G može da se pretvori u metrički prostor definisanjem d(x, y) kao dužine najkraćeg puta koji povezuje čvorove x i y.
• Ako je data injektivna funkcija f iz bilo kog skupa A u metrički prostor (X,d), d(f(x), f(y)) definiše metriku na A.
• Skup svih n sa m matrica nad konačnim poljem je metrički prostor u odnosu na rang distancu d(X,Y) = rang(Y-X).

Literatura

• Choudhary, B. (1992). The Elements of Complex Analysis. New Age International. str. 20. ISBN 978-81-224-0399-2. 
• Kaplansky, Irving (1. 5. 2001). Set Theory and Metric Spaces (na jeziku: engleski) (2nd izd.). AMS Chelsea Publishing; American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2694-2. 
• Reisel, Robert B. (1982). Elementary Theory of Metric Spaces: A Course in Constructing Mathematical Proofs (Universitext) (na jeziku: engleski) (1st izd.). ISBN 978-0-387-90706-2. 
• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society. (1st izd.). 2004. ISBN 978-3-03719-010-4.  . (2nd izd.). 2014. ISBN 978-3-03719-132-3.  .
• Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd izd.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, str. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561 
• Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4 
• Bryant, Victor (1985). Metric spaces: Iteration and application. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31897-1. 
• Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Processes, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188 
• Burago, Dmitri; Burago, Yuri; Ivanov, Sergei (2001). A course in metric geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2129-6. 
• Čech, Eduard (1969). Point Sets. Academic Press. ISBN 0121648508. 
• Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175 
• Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, str. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9 
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, str. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163 
• Gromov, Mikhael (2007). Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4582-3. 
• Heinonen, Juha (2001). Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer. ISBN 0-387-95104-0. 
• Heinonen, Juha (24. 1. 2007). „Nonsmooth calculus”. Bulletin of the American Mathematical Society. 44 (2): 163—232. doi:10.1090/S0273-0979-07-01140-8 . CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233 
• Pascal Hitzler; Anthony Seda (19. 4. 2016). Mathematical Aspects of Logic Programming Semantics. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2962-2. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Lawvere, F. William (decembar 1973). „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”. Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 43 (1): 135—166. S2CID 1845177. doi:10.1007/BF02924844. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Margalit, Dan; Thomas, Anne (2017). „Office Hour 7. Quasi-isometries”. Office hours with a geometric group theorist. Princeton University Press. str. 125—145. ISBN 978-1-4008-8539-8. JSTOR j.ctt1vwmg8g.11. 
• Šablon:Munkres Topology
• Šablon:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Ó Searcóid, Mícheál (2006). Metric spaces. London: Springer. ISBN 1-84628-369-8. 
• Papadopoulos, Athanase (2014). Metric spaces, convexity, and non-positive curvature (Second izd.). Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-132-3. 
• Rolewicz, Stefan (1987). Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems. Springer. ISBN 90-277-2186-6. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (Third izd.). New York. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474. 
• Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ur.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, str. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446. 
• Vitányi, Paul M. B. (2011). „Information distance in multiples”. IEEE Transactions on Information Theory. 57 (4): 2451—2456. S2CID 6302496. arXiv:0905.3347 . doi:10.1109/TIT.2011.2110130. 
• Väisälä, Jussi (2005). „Gromov hyperbolic spaces” (PDF). Expositiones Mathematicae. 23 (3): 187—231. MR 2164775. doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010 . 
• Vickers, Steven (2005). „Localic completion of generalized metric spaces, I”. Theory and Applications of Categories. 14 (15): 328—356. MR 2182680. Arhivirano iz originala 26. 04. 2021. g. Pristupljeno 26. 06. 2023. 
• Weisstein, Eric W. „Product Metric”. MathWorld. 
• Xia, Qinglan (2008). „The geodesic problem in nearmetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 
• Xia, Q. (2009). „The geodesic problem in quasimetric spaces”. Journal of Geometric Analysis. 19 (2): 452—479. S2CID 17475581. arXiv:0807.3377 . doi:10.1007/s12220-008-9065-4. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Metric space”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.
• Weisstein, Eric W. „Product Metric”. MathWorld.