Moment sile

Moment sile ili obrtni moment je veličina u mehanici obrtnog (rotacionog) kretanja koja je analogna ulozi sile kod pravolinijskog (translacionog) kretanja. Pri dejstvu sile, moment sile izaziva obrtno kretanje tela. Intenzitet momenta sile je jednak proizvodu sile i njenog najkraćeg rastojanja od ose rotacije. Na osnovu toga je očigledno da sila čiji pravac seče osu rotacije tela ima nulti moment, odnosno ne može promeniti rotaciju tela, zbog čega je kod rotacionog kretanja i bilo nužno uvesti ovaj novi koncept momenta sile (npr. kada sednete na bicikl vaša masa deluje u pravcu ose točkova, koji se prema tome neće pokrenuti dok ne počnete da okrećete pedale).

Moment sile
Veza između sile (F) i momenta sile $\tau$, kao i impulsa (p) i momenta impulsa (L) kod rotacionog kretanja. Vektor položaja tela u odnosu na tačku (osu) oko koje rotira označen je sa (r)
Uobičajeni simboli	$\tau$, M
SI jedinica	N⋅m
Druge jedinice	funta-sile stopa, lbf⋅inč, ozf⋅in
U SI baznim jedinicama	kg⋅m²⋅s−2
SI dimenzija	M L2T−2

Moment sile primenjen na kraj regulišućeg ključa za odvijanje

Koncept je nastao iz Arhimedovih studija o upotrebi poluge. Baš kao što linearna sila može da gura ili vuče, obrtni moment se može zamisliti kao zavrtanje predmeta oko određene ose. Druga definicija obrtnog momenta je da je to proizvod magnitude sile i normalne udaljenosti linije delovanja sile od ose rotacije. Simbol obrtnog momenta je tipično ${\boldsymbol {\tau }}$, malo slovo grčkog slova tau. U kontekstu momenta sile, to se obično označava sa M.

U tri dimenzije, obrtni moment je pseudovektor; za materijalnu tačku, on je dat vektorskim proizvodom vektora položaja (vektora udaljenosti) i vektora sile. Jačina obrtnog momenta čvrstog tela zavisi od tri veličine: primenjene sile, vektora poluge koji povezuje tačku oko koje se meri obrtni moment i tačku primene sile, i ugla između vektora sile i poluge. Ovo se može izraziti simbolima kao:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!$

$\tau =\|\mathbf {r} \|\,\|\mathbf {F} \|\sin \theta \,\!$

gde je

${\boldsymbol {\tau }}$ vektor momenta i $\tau$ je magnituda momenta,

r je vektor pozicije (vektor od tačke oko koje se obrtni momenat meri do tačke u kojoj se primenjuje sila)

F je vektor sile,

× označava vektorski proizvod, čime se proizivodi vektor koji je normalan na r i F, u skladu sa pravilom desne ruke,

$\theta$ je ugao između vektora sile i vektora kraka poluge.

SI jedinica za momenat je N⋅m.

Terminologija

Džejms Tomson, brat Lorda Kelvina, uveo je termin momenat (engl. torque) u englesku naučnu literaturu 1884. godine. Međutim, za momenat se koriste različite varijante naziva, zavisno od geografskog položaja i polja proučavanja. Ovaj članak sledi definiciju koja se koristi u fizici u SAD. U Velikoj Britaniji i u mašinstvu u SAD, primenjuje se naziv moment sile, obično skraćen na moment. Ovi termini su zamenljivi u fizici u SAD i fizičkoj terminologiji u Velikoj Britaniji, za razliku od američkog mašinskog inženjerstva, gde se termin torque koristi za usko povezani „rezultantni momenat sprege”.

Definicija i odnos sa ugaonim momentom

Čestica se nalazi u položaju r u odnosu na svoju osu rotacije. Kada se na česticu primeni sila F, samo okomita komponenta F_⊥ stvara obrtni moment. Ovaj obrtni moment τ = r × F ima magnitudu τ = |r| |F_⊥| = |r| |F| sin θ i usmeren je izvan ravni.

Sila primenjena normalno na polugu pomnožena s njenim rastojanjem od težišta poluge (dužinom kraka poluge) je njen obrtni moment. Na primer, sila od tri njutna primenjena dva metra od težišta, ima isti obrtni moment kao i sila jednog njutna, koja je primenjena šest metara od težišta. Smer obrtnog momenta može se odrediti korištenjem pravila desne ruke: ako su prsti desne ruke savijeni od smera poluge prema smeru sile, tada je palac usmeren u pravcu momenta.

Generalnije, moment na čestici u tačci (koja ima položaj r u nekom referentnom okviru) može se definisati kao vektorski proizvod:

${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$

gde je r vektor položaja čestice relativno na koordinatni početak, a F je sila koja deluje na česticu. Magnituda momenta, τ, je data sa

$\tau =rF\sin \theta ,\!$

gde je r rastojanje od ose rotacije čestice, F je magnituda primenjene sile, i θ je ugao između pozicije i vektora sile. Alternativno,

$\tau =rF_{\perp },$

gde je F_⊥ količina sile usmerene normalno na poziciju čestice. Komponenta sile usmerena paralelno na poziciju čestice ne proizvodi momenat.

Iz svojstava vektorskog proizvoda proizlazi da je vektor obrtnog momenta normalan na vektore položaja i sile. Ekvivalentno tome, vektor obrtnog momenta definiše ravan u kojoj leže vektori položaja i sile. Rezultirajući smer vektora momenta je određen pravilom desne ruke.

Neto obrtni moment na telu određuje brzinu promene ugaonog momenta tela,

${\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}$

gde je L vektor ugaonog momenta, a t je vreme.

Za kretanje tačkaste čestice važi,

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

gde je I moment inercije, a ω je orbitalna ugaona brzina pseudovektora. Iz ovoga sledi

${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\frac {\mathrm {d} (mr^{2})}{\mathrm {d} t}}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\alpha }}+2rp_{||}{\boldsymbol {\omega }},$

gde je α ugaono ubrzanje čestice, a p_|| je radijalna komponenta njenog linearnog momenta. Ova jednačina je rotacioni analog Njutnovog drugog zakona za tačkaste čestica, i važi za bilo koji tip putanje. Treba imati na umu da iako su sila i ubrzanje uvek paralelni i direktno proporcionalni, obrtni momenat τ ne mora biti paralelan ili direktno proporcionalan ugaonom ubrzanju α. Ovo proizilazi iz činjenice da iako se masa uvek biva očuvana, to generalno nije slučaj sa momentom inercije.

Simbol i jedinica

Oznaka za moment sile je veliko slovo M (na engleskom govornom području kao oznaka koristi se grčko slovo $\tau$ (engl. torque)). SI jedinica za moment sile je njutn-metar.

Razmatranje

Koncept momenta sile ili sprega sila posebno je važan za polugu, kao jednu od prostih mašina, čiji je zakon, poznat još iz antičkih vremena, zahvaljujući Arhimedu. Sila primenjena na polugu pomnožena sa njenim najkraćim rastojanjem od oslonca poluge (krakom sile) jednaka je intenzitetu momenta ove sile. Na primer, sila od tri njutna koja deluje na rastojanju dva metra od oslonca poluge, ima isti moment kao sila od jednog njutna primenjena na šest metara od oslonca. Pri tome, podrazumeva se da je rastojanje ili krak sile u odnosu na oslonac mereno pod pravim uglom u odnosu na pravac sile (najkraće rastojanje). Na osnovu toga lako je zaključiti da je kod poluge sila toliko puta manja od mase tereta, koliko je puta njen krak veći od kraka tereta (Arhimedov zakon poluge).

Matematički, moment sile koji deluje na česticu (čiji je vektor položaja u nekom referentnom sistemu ${\vec {r}}$) može se definisati kao vektorski proizvod vektora položaja i vektora sile, odnosno:

${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

gde je ${\vec {r}}$ vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema, a ${\vec {F}}$ vektor sile koja deluje na česticu. Ili, na osnovu osobine vektorskog proizvoda, dobija se da je intenzitet (jačina) vektora momenta sile:

$\ M=rF\sin \theta$

gde su $\ r$ i $\ F$ intenziteti vektora položaja i sile, respektivno, a $\ sin\theta$ je sinus ugla $\theta$ između njih.

Pravac vektora momenta sile je normalan na ravan u kojoj leže vektor položaja i vektor sile. Smer vektora momenta sile određuje se “pravilom desnog zavrtnja”, što znači da je jednak smeru napredovanja desnog zavrtnja koji bi obrtali u smeru od vektora ${\vec {r}}$ ka vektoru ${\vec {F}}$, kraćim putem. Ili, ako primenimo pravilo “kazaljki na satu”, pomeranje od vektora ${\vec {r}}$ ka vektoru ${\vec {F}}$, kraćim putem, suprotno je smeru kretanja kazaljki na satu, posmatrano sa vrha vektora momenta sile ${\vec {M}}$.

Primer

Motor ima startni obrtni moment od 150 Nm. Ako točak pričvršćen na vratilo motora ima dijametar od 1 m, izračunaj kočionu silu da bi se sprečilo okretanje sistema vratila motora-točak.

Radijus je 0.5 m, dakle kočiona sila od:

$\mathbf {F} ={\frac {M}{r}}$ = 300 N je potrebna. Ako je radijus 2 metra, sila od 75 Njutna bi bila dovoljna da spreči rotaciju.

Vidi još

• Sila

Literatura

• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. 
• Electrical Machines, Drives, and Power Systems, 4th edition, Theodore Wildi, Prentice Hall. ISBN 978-0-13-082460-8.
• Physics for Engineering by Hendricks, Subramony, and Van Blerk, page 148, Web link
• Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 Web link
• Augustus Jay Du Bois (1902). The mechanics of engineering, Volume 1. Wiley. str. 186. 
• J.L. Ericksen (1979) Timoshenko Acceptance Speech at iMechanica.org site for mechanicians
• H.F. Girvin (1938) Applied Mechanics, §28 Couples, pp 33,4, Scranton Pennsylvania: International Textbook Company.
• Cohen-Tannoudji, Claude; Diu, Bernard; Laloë, Franck (2006). Quantum Mechanics (2 volume set izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-56952-7. 
• Condon, E. U.; Shortley, G. H. (1935). „Especially Chapter 3”. The Theory of Atomic Spectra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09209-8. 
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7. 
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-0-387-40122-5 .
• Jackson, John David (1998). Classical Electrodynamics (3rd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Thompson, William J. (1994). Angular Momentum: An Illustrated Guide to Rotational Symmetries for Physical Systems. Wiley. ISBN 978-0-471-55264-2. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th izd.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4. 
• Feynman R; Leighton R; Sands M. (septembar 2013). „19–4 Rotational kinetic energy”. The Feynman Lectures on Physics. The Feynman Lectures Website (online izd.). 

Spoljašnje veze

• Torque (moment of a force) na sajtu Enciklopedija Britanika
• "Horsepower and Torque" Архивирано на сајту Wayback Machine (28. март 2007) An article showing how power, torque, and gearing affect a vehicle's performance.
• "Torque vs. Horsepower: Yet Another Argument" Архивирано на сајту Wayback Machine (3. март 2009) An automotive perspective
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion on Project PHYSNET.
• An interactive simulation of torque
• Torque Unit Converter
• A feel for torque Архивирано на сајту Wayback Machine (8. мај 2021) An order-of-magnitude interactive.