Neprekidna funkcija

Intuitivno, neprekidna funkcija je ona funkcija, koja za dovoljno male promene vrednosti argumenta ima proizvoljno male promene vrednosti funkcije. Takođe, intuitivno, neprekidnu funkciju zamišljamo kao funkciju čiji grafik možemo nacrtati ne podižući olovku sa papira.

Neprekidnost funkcije je pojam vezan za topologiju, gde je neprekidnost funkcija realnih brojeva specijalan slučaj. Za funkciju koja nije neprekidna kažemo da je prekidna, tj. da ima prekid.

DefinicijeUredi

Košijeva definicijaUredi

 
Ilustrovani prikaz Košijeve ε - δ definicije neprekidnosti. Za npr. ε=0.5, c=2, vrednost δ=0.5 zadovoljava uslov definicije.

Košijeva definicija je definicija na   jeziku, i vezana je za funkcije realnih brojeva.

Posmatrajmo funkciju  . Neka je   tačka nagomilavanja skupa  .

Funkcija   je neprekidna u tački  , ako je:

 

Ova definicija je ekvivalentna sa:

Funkcija   je neprekidna u tački  , ako je:

 

Hajneova definicijaUredi

Ovom definicijom opisana je neprekidna funkcija preko granične vrednosti niza.

Realna funkcija   je neprekidna ako za svaki niz  , takav da

 ,

važi

 

Ovde smo naravno pretpostavili da svaki član niza pripada domenu funkcije.

Topološka definicijaUredi

Neprekidna funkcija iz jednog topološkog prostora u drugi je funkcija čija je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena, što se zapisuje kao: Funkcija   je neprekidna u tački   ako

 .

Funkcija je neprekidna na oblasti ako je neprekidna u svim tačkama oblasti.

Neprekidna preslikavanja su morfizmi topološkog prostora.

Ako funkcija slika realne brojeve u realne brojeve (oba prostora sa standardnom topologijom), onda je ova definicija neprekidnosti ekvivalentna definiciji neprekidnosti koja se javlja u analizi.

Neprekidnost sa straneUredi

 
Funkcija neprekidna s desne strane

Posmatrajmo funkciju  ,

funkcija je neprekidna sa leve strane u tački   ako
 
funkcija je neprekidna sa desne strane u tački   ako
 

Teorema: Funkcija   je neprekidna u tački   ako i samo ako je neprekidna u toj tački i sa leve i sa desne strane.

Neprekidnost na skupuUredi

Funkcija   je neprekidna na skupu   ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa, odnosno na   jeziku:

 

Uniformna neprekidnostUredi

Funkcija   je uniformno neprekidna na skupu   ako

 

Lokalna svojstva neprekidniih funkcijaUredi

Pod lokalnim svojstvima neprekidne funkcije se podrazumevaju svojstva funkcije koja su usko povezana sa ponašanjem funkcije u okolini neke tačke neprekidnosti.

Globalna svojstva neprekidnih funkcijaUredi

Globalna svojstva neprekidne funkcije se odnose na ponašanje funkcije u nekom neprekidnom intervalu definisanosti.

Definicija: Funkcija   je neprekidna na nekom skupu   ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa.


Funkcija je deo-po-deo neprekidna na skupu   ako postoji konačno mnogo tačaka   tako da je funkcija definisana na svakom segmentu   i na krajevima tih intervala ima odgovarajuće limese.

Bolcano-Košijeva teorema o međuvrednostiUredi

Neka je data neprekidna funkcija   i neka je   i  . Ako je   proizvoljna vrednost između   i  , onda postoji tačka   za koju važi:  .

Specijalno, ako funkcija   uzima vrednosti različitih znakova na krajevima segmenta  , tj. ako je  , onda postoji tačka   tako da je:  .

Vajerštrasova teorema o ograničenosti neprekidne funkcijeUredi

Ako je funkcija   neprekidna na  , ona je i ograničena na   i postoje tačke u okviru tog segmenta u kojima ona dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrednost na segmentu.

Neprekidnost kod elementarnih funkcijaUredi

Vidi elementarne funkcije

Teorema: Sve elementarne funkcije su neprekidne na svom prirodnom domenu.

LiteraturaUredi

  • Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.

Vidi jošUredi

Spoljašnje vezeUredi