Oduzimanje

Oduzimanje je jedna od četiri osnovne aritmetičke operacije, i predstavlja inverziju sabiranju. Obeležava se znakom minus („–“). U relaciji

Oduzimanje

x - y = z (čita se „iks minus ipsilon“ ili „iks manje ipsilon“)

x se naziva umanjenik, y – umanjilac, a rezultat operacije oduzimanja – z – razlika. Važi: $x-y=z\Leftrightarrow y+z=x$. Iako se prvenstveno povezuje sa prirodnim brojevima u aritmetici, oduzimanje takođe može predstavljati uklanjanje ili smanjenje fizičkih i apstraktnih veličina korišćenjem različitih vrsta objekata uključujući negativne brojeve, razlomke, iracionalne brojeve, vektore, decimale, funkcije i matrice.

Skup prirodnih brojeva nije zatvoren u odnosu na oduzimanje, jer nije moguće oduzeti veći broj od manjeg, niti dva jednaka broja. Prošireni skup prirodnih brojeva se dobija dodavanjem nule skupu prirodnih brojeva, tako da je moguće oduzeti dva jednaka broja jedan od drugog.

Razlika kompleksnih brojeva je kompleksan broj čiji je realni deo razlika realnih delova umanjenika i umanjioca, a imaginarni deo razlika imaginarnih delova umanjenika i umanjioca: $(x_{1},y_{1})-(x_{2},y_{2})=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2});(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in \mathbb {C}$

Oduzimanje je antikomutativno: (x - y) = -(y - x), i nije asocijativno.

Oduzimanje se može posmatrati i kao sabiranje umanjioca i broja suprotnog umanjeniku: x - y = x + (-y). Zahvaljujući ovoj osobini, oduzimanje se može primeniti i na vektore i matrice.

Notacija i terminologija

Oduzimanje brojeva 0–10. Oznake linija = umanjenik. X osa = oduzimanje. Y osa = razlika.

Oduzimanje se obično piše pomoću znaka minus „−“ između pojmova; odnosno u infiksnoj notaciji. Rezultat se izražava znakom jednakosti. Na primer,

$2-1=1$ (izgovara se kao „dva minus jedan je jedan”)

$4-2=2$ (izgovara se kao „četiri minus dva jednako dva”)

$6-3=3$ (izgovara se kao „šest minus tri jednako tri”)

$4-6=-2$ (izgovara se kao „četiri minus šest je negativno dva”)

Postoje i situacije u kojima se oduzimanje „podrazumeva“, iako se ne pojavljuje nijedan simbol:

• Kolona od dva broja, sa nižim brojem u crvenoj boji, obično označava da se manji broj u koloni treba oduzeti, a razlika je zapisana ispod, ispod reda. Ovo je najčešće sreće u računovodstvu.

Formalno, broj koji se oduzima je poznat kao umanjilac, dok je broj od kojeg se oduzima umanjenik. Rezultat je razlika. To je,

${\rm {minuend}}-{\rm {subtrahend}}={\rm {difference}}$.

Sva ova terminologija potiče iz latinskog. Subtraction je engleska reč izvedena od latinskog glagola subtrahere, koji je zauzvrat formiran od sub „odozdo” i trahere „vući”. Dakle, oduzimati znači privući odozdo, ili oduzeti. Korišćenje gerundivnog sufiksa -nd rezultira „umanjiocem”, „stvar za oduzimanje”. Slično, od minuere „smanjiti ili umanjiti”, predstavlja „umanjenik”, što znači „stvar za smanjenje”.

Celi i realni brojevi

Celi brojevi

Zamislite linijski segment dužine b sa levim krajem označenim sa a i desnim sa oznakom c. Počevši od a, potrebno je b koraka udesno do c. Ovo kretanje udesno je matematički modelovano dodavanjem:

a + b = c.

Od c, potrebno je b koraka ulevo da se vratimo na a. Ovo kretanje ulevo je modelovano oduzimanjem:

c − b = a.

Sada je segment linije označen brojevima 1, 2, i 3. Od pozicije 3, nije potrebno ni koraka ulevo da ostane na 3, tako da je 3 − 0 = 3. Potrebna su 2 koraka ulevo da se dođe do pozicije 1, dakle 3 − 2 = 1. Ova slika je neadekvatna da opiše šta bi se desilo nakon što se pređu 3 koraka levo od pozicije 3. Da bi se predstavila ovakva operacija, linija mora biti produžena.

Da bi se oduzeli proizvoljni prirodni brojevi, počinje se linijom koja sadrži svaki prirodni broj (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Od 3, potrebno je 3 koraka ulevo da se dođe do 0, tako da je 3 − 3 = 0. Ali 3 − 4 je i dalje nevažeće, pošto ponovo napušta liniju. Prirodni brojevi nisu koristan kontekst za oduzimanje.

Rešenje je da se uzme u obzir celobrojna brojevna prava (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). Na ovaj način, potrebno je 4 koraka ulevo od 3 da bi se došlo do −1:

3 − 4 = −1.

Prirodni brojevi

Oduzimanje prirodnih brojeva nije zatvoreno: razlika nije prirodan broj osim ako je umanjenik veći ili jednak od umanjioca. Na primer, 26 se ne može oduzeti od 11 da bi se dobio prirodan broj. Takav slučaj koristi jedan od dva pristupa:

1. Može se zaključiti da se 26 ne može oduzeti od 11; oduzimanje postaje parcijalna funkcija.
2. Rešenje je ceo broj koji predstavlja negativan broj, tako da je rezultat oduzimanja 26 od 11 je −15.

Realni brojevi

Polje realnih brojeva može se definisati specificirajući samo dve binarne operacije, sabiranje i množenje, zajedno sa unarnim operacijama koje daju aditivne i multiplikativne inverze. Oduzimanje realnog broja (umanjilac) od drugog (umanjenik) se tada može definisati kao sabiranje umanjioca i aditivne inverzne vrednosti umanjenika. Na primer, 3 − π = 3 + (−π). Alternativno, umesto da zahtevaju ove unarne operacije, binarne operacije oduzimanja i deljenja mogu se uzeti kao osnovne.

Svojstva

Antikomutativnost

Oduzimanje je antikomutativno, što znači da ako se obrnu termini u razlici s leva na desno, rezultat je negativna vrednost od prvobitnog rezultata. Simbolično, ako su a i b bilo koja dva broja, onda

a − b = −(b − a).

Neasocijativnost

Oduzimanje nije asocijativno, što se pojavljuje kada se pokuša da se definiše ponovljeno oduzimanje. Uopšteno, izraz

„a − b − c”

može se definisati da znači (a − b) − c ili a − (b − c), ali ove dve mogućnosti dovode do različitih odgovora. Da bi se ovo pitanje rešilo, mora se uspostaviti [order of operations[|redosled operacija]], sa različitim nalozima koji daju različite rezultate.

Prethodnik

U kontekstu celih brojeva, oduzimanje jedinice takođe igra posebnu ulogu: za bilo koji ceo broj a, ceo broj (a − 1) je najveći ceo broj manji od a, takođe poznat kao prethodnik a.

Merne jedinice

Kada se oduzimaju dva broja sa mernim jedinicama kao što su kilogrami ili funte, oni moraju imati istu jedinicu. U većini slučajeva, razlika će imati istu jedinicu kao i originalni brojevi.

Procenti

Promene u procentima se mogu izvesti u najmanje dva oblika, procentualna promena i promena procentnih poena. Procentualna promena predstavlja relativnu promenu između dve veličine u procentima, dok je promena procentnih poena jednostavno broj dobijen oduzimanjem ta dva procenta.

Kao primer, pretpostavimo da je 30% uređaja napravljenih u fabrici neispravno. Šest meseci kasnije, 20% vidžeta je neispravno. Procentualna promena je 20% − 30%/30% = −1/3 = −33+1/3%, dok je promena procentnih poena −10 procentnih poena.

Računarstvo

Metoda komplementa je tehnika koja se koristi za oduzimanje jednog broja od drugog koristeći samo sabiranje pozitivnih brojeva. Ovaj metod se obično koristio u mehaničkim kalkulatorima i još uvek se koristi u savremenim računarima.

Binarna cifra	Jedinični komplement
0	1
1	0

Da bi se binarni broj y (umanjilac) oduzeo od drugog broja x (umanjenik), jedinični komplement od y se dodaje na x i jedan se dodaje zbiru. Vodeća cifra „1” rezultata se zatim odbacuje.

Metoda komplementa je posebno korisna u binarnom računu (osnova 2) jer se jedinični komplement vrlo lako dobija invertovanjem svakog bita (promenom „0” u „1” i obrnuto). A dodavanje 1 za dobijanje komplementa dva može da se uradi simulacijom prenosa u najmanje značajan bit. Na primer:

  01100100  (x, једнако децималном 100)
- 00010110  (y, једнако децималном 22)

postaje zbir:

  01100100  (x)
+ 11101001  (јединични комплемент од y)
+        1  (да се добије комплемент за два)
——————————
 101001110

Ispuštanje početnog „1”" daje odgovor: 01001110 (jednako je decimalnom broju 78)

Nastava oduzimanja u školama

Metode koje se koriste za podučavanje oduzimanja u osnovnoj školi razlikuju se od zemlje do zemlje, a unutar zemlje različite metode se usvajaju u različito vreme. U onome što je u Sjedinjenim Državama poznato kao tradicionalna matematika, određeni proces se predaje studentima na kraju prve godine (ili tokom druge godine) za upotrebu sa višecifrenim celim brojevima, a produžava se ili u četvrtom ili petom razredu uključivanjem decimalnih prikaza razlomaka brojeva.

U Americi

Skoro sve američke škole trenutno podučavaju metodu oduzimanja korišćenjem pozajmljivanja ili pregrupisanja (algoritam dekompozicije) i sistem označavanja koji se naziva štake. Iako je metod pozajmljivanja bio poznat i objavljen u udžbenicima ranije, upotreba štaka u američkim školama se proširila nakon što je Vilijam A. Braunel objavio studiju — tvrdeći da su štake bile korisne za učenike koji koriste ovu metodu. Ovaj sistem je brzo prihvaćen, istisnuvši druge metode oduzimanja u upotrebi u Americi u to vreme.

U Evropi

Neke evropske škole koriste metod oduzimanja zvan austrijski metod, poznat i kao metod sabiranja. U ovom metodu nema zaduživanja. Postoje i štake (oznake za pomoć pamćenju), koje se razlikuju od zemlje do zemlje.

Vidi još

• Sabiranje

Literatura

• Schmid, Hermann (1974). Decimal Computation (1 izd.). Binghamton, NY: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-76180-8. 
• Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
• Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) PDF
• „U.S. Traditional Subtraction (Standard)” (PDF). Everyday Mathematics Online. Pristupljeno 25. 6. 2019. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Star, Jon R.; Smith, John P.; Jansen, Amanda (2008). „What Students Notice as Different between Reform and Traditional Mathematics Programs”. Journal for Research in Mathematics Education. 39 (1): 9—32. ISSN 0021-8251. JSTOR 30034886. doi:10.2307/30034886. 
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8. 
• Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications.
• Kline, Morris (1972). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York. 
• Martha Smith. „History of Negative Numbers”. 
• Gerver, Robert K.; Sgroi, Richard J. (2010), Financial Algebra, Student Edition, Cengage Learning, str. 201, ISBN 978-0-538-44967-0 
• Grant P. Wiggins; McTighe, Jay (2005). Understanding by design. ACSD Publications. str. 210. ISBN 1-4166-0035-3. 
• Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959]. Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth (reprint izd.). Cambridge: Cambridge University Press. str. 90. ISBN 0-521-05801-5. 
• Heath, Thomas L. (1897). The works of Archimedes. Cambridge University Press. str. cxxiii. 
• Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. str. 88. ISBN 978-0-19-152383-0. „Liu is explicit on this; at the point where the Nine Chapters give a detailed and helpful 'Sign Rule'” 
• Needham, Joseph; Wang, Ling (1995) [1959]. Science and Civilisation in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth (reprint izd.). Cambridge: Cambridge University Press. str. 90—91. ISBN 0-521-05801-5. 
• Teresi, Dick (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 
• Pearce, Ian (maj 2002). „The Bakhshali manuscript”. The MacTutor History of Mathematics archive. Pristupljeno 2007-07-24. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Hayashi, Takao (2008), „Bakhshālī Manuscript”, Ur.: Helaine Selin, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, 1, Springer, str. B2, ISBN 9781402045592 
• Teresi, Dick (2002). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science–from the Babylonians to the Mayas. New York: Simon & Schuster. ISBN 0-684-83718-8. 

Spoljašnje veze

• MathWorld Wolfram, „Одузимање“ (језик: енглески)
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Subtraction”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Printable Worksheets: Subtraction Worksheets, One Digit Subtraction, Two Digit Subtraction, Four Digit Subtraction, and More Subtraction Worksheets
• Subtraction Game at cut-the-knot
• Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
• "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic" is an Arabic document from the 15th century that talks about basic arithmetic.