Otvoren skup

U topologiji i srodnim oblastima matematike, skup U se naziva otvorenim ako, intuitivno govoreći, iz svake tačke x iz U možemo da pređemo malu distancu u bilo kom smeru a da i dalje ostanemo u skupu U. Drugim rečima, razdaljina između bilo koje tačke x u U i ivice skupa U je uvek veća od nule.

Kao primer, uzmimo otvoreni interval (0, 1) koji se sastoji od svih realnih brojeva x za koje važi 0 < x < 1. Ovde se koristi uobičajena topologija na realnoj pravoj. Možemo ovo da posmatramo na dva načina. Kako je svaka tačka u intervalu različita od 0 i 1, razdaljina od te tačke do ivice je uvek različita od nule. Ili, ekvivalentno, za svaku tačku u intervalu možemo da pređemo malu razdaljinu u bilo kom smeru bez dodirivanja ivice, a ostaćemo u skupu. Stoga je interval (0, 1) otvoren. Međutim, interval (0, 1], koji se sastoji do svih brojeva x za koje važi 0 < x ≤ 1 nije otvoren; ako posmatramo tačku x = 1 i pomerimo se koliko god malo u pozitivnom smeru, bićemo izvan intervala (0, 1].

Primer: Tačke $(x,y)$ koje zadovoljavaju $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ su obojene plavom. Tačke $(x,y)$ koje zadovoljavaju $x^{2}+y^{2}<r^{2}$ su obojene crvenom. Crvene tačke formiraju otvoren skup. Unija crvenih i plavih tačaka formira zatvoren skup.

Motivacija

Intuitivno, otvoreni skup pruža metod za razlikovanje dve tačke. Na primer, ako oko jedne od dve tačke u topološkom prostoru, postoji otvoreni skup koji ne sadrži drugu (različitu) tačku, te dve tačke se nazivaju topološki razlikovnim. Na ovaj način može se govoriti o tome da li su dve tačke, ili uopštenije dva podskupa, topološkog prostora „blizu“ bez konkretnog definisanja udaljenosti. Stoga se topološki prostori mogu posmatrati kao generalizacija prostora opremljenih pojmom udaljenosti, koji se nazivaju metrički prostori.

U skupu svih realnih brojeva, jedan ima prirodnu euklidsku metriku; odnosno funkcija koja meri rastojanje između dva realna broja: d(x, y) = |x − y|. Dakle, za dati realni broj x, može se govoriti o skupu svih tačaka bliskih tom realnom broju; odnosno unutar ε od x. U suštini, tačke unutar ε od x aproksimiraju x do stepena preciznosti od ε. Treba imati na umu da je ε > 0 uvek, ali kako ε postaje sve manje i manje, dobijaju se tačke koje aproksimiraju x sa sve većim i višim stepenom tačnosti. Na primer, ako je x = 0 i ε = 1, tačke unutar ε od x su upravo tačke intervala (−1, 1); odnosno skup svih realnih brojeva između −1 i 1. Međutim, sa ε = 0,5, tačke unutar ε od x su upravo tačke (−0,5, 0,5). Jasno je da ove tačke aproksimiraju x sa većim stepenom tačnosti nego kada je ε = 1.

Prethodna diskusija pokazuje, za slučaj x = 0, da se x može aproksimirati sa sve više i više stepena tačnosti definisanjem ε koje je sve manje i manje. Konkretno, skupovi oblika (−ε, ε) nam daju mnogo informacija o tačkama blizu x = 0. Stoga, umesto da govorimo o konkretnoj euklidskoj metrici, možemo koristiti skupove da opišemo tačke blizu x. Ova inovativna ideja ima dalekosežne posledice; posebno, definisanjem različitih kolekcija skupova koji sadrže 0 (različitih od skupova (−ε, ε)), mogu se naći različiti rezultati u vezi sa rastojanjem između 0 i drugih realnih brojeva. Na primer, ako bismo definisali R kao jedini takav skup za „merenje udaljenosti“, sve tačke su blizu 0, pošto postoji samo jedan mogući stepen tačnosti koji se može postići u aproksimaciji 0: biti član R. Dakle, ustanovljava se da je u nekom smislu svaki realan broj udaljen 0 od 0. U ovom slučaju može pomoći razmišljanje o meri kao o binarnom uslovu: sve stvari u R su podjednako blizu 0, dok svaka stavka koja nije u R nije blizu 0.

Uopšteno govoreći, porodica skupova koji sadrže 0, koji se koristi za aproksimaciju 0, može se predstaviti kao osnova susedstva; član ove osnove susedstva se označava kao otvoreni skup. Zapravo, ovi pojmovi se mogu generalizovati na proizvoljan skup (X); a ne samo realne brojeve. U ovom slučaju, s obzirom na tačku (x) tog skupa, može se definisati kolekcija skupova „oko” 'x (to jest, koja ga sadrži), koja se koristi za aproksimaciju 'x. Naravno, ova kolekcija bi morala da zadovolji određena svojstva (poznata kao aksiomi) jer u suprotnom možda nećemo imati dobro definisan metod za merenje udaljenosti. Na primer, svaka tačka u X treba da bude približno x do određenog stepena tačnosti. Dakle, X bi trebalo da bude u ovoj porodici. Kada počnemo da definišemo „manje“ skupove koji sadrže x, težimo da aproksimiramo x na veći stepen tačnosti. Imajući ovo na umu, mogu se definisati preostali aksiome koje porodica skupova o x treba da zadovolji.

Definicije

Koncept otvorenog skupa se može formalizovati u više različitih stepeni opštosti.

Funkcionalno-analitički

Skup tačaka u Rⁿ se naziva otvorenim ako je svaka tačka P iz skupa unutrašnja tačka.

Euklidski prostori

Podskup U euklidskog n-prostora Rⁿ se naziva otvorenim ako, za svaku datu tačku x iz U, postoji realan broj ε > 0 takav da svaka data tačka y iz Rⁿ čije je euklidsko rastojanje od x manje od ε, y takođe pripada skupu U. Ekvivalentno, U je otvoren ako svaka tačka u U ima okolinu koja se nalazi u U.

Metrički prostori

Podskup U metričkog prostora (M, d) se naziva otvorenim ako za svaku datu tačku x iz U, postoji realan broj ε > 0 takav da svaka data tačka y iz M sa d(x, y) < ε, y takođe pripada skupu U. (Ekvivalentno, U je otvoren ako svaka tačka iz U ima okolinu koja se nalazi u U.)

Ovo je generalizacija primera sa euklidskim prostorom, jer je euklidski prostor sa euklidskim rastojanjem metrički prostor.

Topološki prostori

U topološkim prostorima, pojam otvorenosti se uzima kao fundamentalan.

Počinje se sa proizvoljnim skupom X i familijom podskupova od X koji zadovoljavaju određena svojstva koja svaki razuman pojam otvorenosti treba da ima. Takva familija T podskupova se naziva topologijom na X, a članovi familije se nazivaju otvorenim skupovima topološkog prostora (X, T). Beskonačni preseci otvorenih skupova ne moraju da budu otvoreni. Skupovi koji se mogu konstruisati kao preseci prebrojivo mnogo otvorenih skupova se označavaju kao G_δ skupovi.

Topološka definicija otvorenih skupova generalizuje definiciju kod metričkih prostora: Ako se pođe od metričkog prostora i definišu otvoreni skupovi kao gore, tada familija svih otvorenih skupova gradi topologiju na metričkom prostoru.

Svaki metrički prostor je stoga topološki prostor u prirodnom smislu. (Postoje međutim topološki prostori koji nisu metrički prostori.)

Svojstva

Prazan skup je otvoren. Unija prebrojivo mnogo otvorenih skupova je otvorena. Presek konačnog skupa otvorenih skupova je otvoren.

Upotrebe

Otvoreni skupovi su od osnovnog značaja za topologiju. Ovaj pojam je neophodan da bi se definisao i imao smisla topološki prostor, i druge topološke strukture koje se bave pojmovima zatvorenosti i konvergencije za prostore kao što su metrički prostori i uniformni prostori.

Svaki podskup A topološkog prostora X sadrži (možda prazan) otvoren skup; najveći takav otvoren skup se naziva unutrašnjošću od A.

Može se konstruisati uzimanjem unije svih otvorenih skupova koji se sadrže u A.

Neka su dati topološki prostori X i Y i funkcija f iz X u Y. Funkcija f je neprekidna ako je original svakog otvorenog skupa u Y otvoren u X.

Preslikavanje f se naziva otvorenim ako je slika svakog otvorenog skupa iz X otvorena u Y.

Otvoren skup na realnoj pravoj ima karakteristično svojstvo da je prebrojiva unija disjunktnih otvorenih intervala.

Napomena

Treba imati u vidu da da li je skup U otvoren zavisi od okolnog prostora. Na primer, ako je U definisan kao skup racionalnih brojeva u intervalu (0, 1), onda je U otvoren u racionalnim brojevima, ali nije otvoren u realnim brojevima. Ovo je slučaj jer kada je U u racionalnim brojevima ne postoje iracionalni brojevi na koje se može preći - najmanji mogući pomeraj je sa jednog racionalnog broja na drugi. Takođe, nebitno koliko je element od U blizu 0 ili 1, uvek postoji novi racionalan broj između njega i 0 ili 1, pa od svakog elementa U uvek može da se napravi dovoljno mali pomeraj da se priđe 0 ili 1 a da se ostane u U. Ali, kada je ovaj skup u realnim brojevima, postoje iracionalni brojevi između svih racionalnih brojeva i moguće je da se sa elementa U pređe na iracionalan broj (koji nije element od U). Tako, za svaki pomeraj od nekog početnog elementa iz U u neki drugi element, uvek postoji manja razdaljina od početnog elementa do iracionalnog broja, koji je izvan U. (Iako iracionalan broj može biti između 0 i 1, on nije u U jer U sadrži samo racionalne brojeve.)

Neki skupovi su i otvorni i zatvoreni (zatvoreni-otvoreni skupovi); u R i drugim povezanim prostorima, samo su prazan skup i ceo prostor zatvoreni-otvoreni, dok je skup svih racionalnih brojeva manjih do √2 zatvoren-otvoren u racionalnim brojevima. Dok ostali nisu ni otvoreni ni zatvoreni, poput (0, 1] u R. U stvari, skup (0, 1] je unija skupova (0, 1) (koji je otvoren) i [1] (koji je zatvoren). Valja imati u vidu da otvoren skup nije suprotnost zatvorenom skupu, već je zatvoren skup komplement otvorenog skupa.

Vidi još

• Zatvoren skup
• Zatvoren-otvoren skup
• Okolina

Литература

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology. Amsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277. 
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8. 
• Arkhangel'skij, A.V.; Ponomarev, V.I. (1984). Fundamentals of general topology: problems and exercises. Mathematics and Its Applications. 13. Translated from the Russian by V. K. Jain. Dordrecht: D. Reidel Publishing. Zbl 0568.54001. 
• Engelking, Ryszard (1989). General topology. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. 
• Aleksandrov, P.S. (1969) [1956], „Chapter XVIII Topology”, Ур.: Aleksandrov, A.D.; Kolmogorov, A.N.; Lavrent'ev, M.A., Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2nd изд.), The M.I.T. Press 
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2 
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton University Press 
• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
• Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). „Johann Benedict Listing”. Ur.: James, I.M. History of Topology. North Holland. ISBN 978-0-444-82375-5. 
• Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90125-1. 
• Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.  (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
• Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.  (Provides a popular introduction to topology and geometry)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd izd.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1 

Spoljašnje veze

• Otvoren skup na sajtu PlanetMath.