Paralelogram

U Euklidovoj geometriji, paralelogram je jednostavan (ne-samosekući) četvorougao sa dva para paralelnih stranica. Naspramne stranice paralelograma su jednake dužine, a naspramni uglovi su jednake mere.

Paralelogram
Ovaj paralelogram je romboid jer nema prave uglove i nejednake stranice.
Tip	četvorougao
Ivice i temena	4
Simetrična grupa	C2, [2]+, (22)
Površina	b × h (osnovica × visina); ab sin θ (proizvod susednih stranica i sinus bilo kog ugla temena)
Svojstva	konveksan

Podudarnost naspramnih stranica i naspramnih uglova je direktna posledica Euklidovog postulata paralelnosti i ni jedan uslov se ne može dokazati bez primenjivanja Euklidovog postulata paralelnosti ili jedne od njegovih ekvivalentnih formulacija.

Poređenja radi, četvorougao sa samo jednim parom paralelnih stranica je trapez.

Trodimenzionalni ekvivalent paralelograma je paralelepiped.

Etimologija (na grčkom grč. παραλληλ-όγραμμον — „oblik od paralelnih linija”) odražava definiciju.

Posebni slučajevi

Četvorouglovi po simetriji

• Romboid — četvorougao čije su naspramne stranice paralelne, susedne stranice nejednake i čiji uglovi nisu pravi.
• Pravougaonik — paralelogram sa četiri ugla jednake veličine.
• Romb — paralelogram sa četiri stranica jednake dužine.
• Kvadrat — paralelogram sa četiri stranica jednake dužine i uglova jednake veličine (pravi uglovi).

Karakterizacija

Paralelogram je jednostavan (ne-samosekući) četvorougao ako i samo ako je jedna od sledećih izjava tačna:

• dva para naspramnih stranica su jednake po dužini;
• dva para naspramnih uglova su jednaki po meri;
• dijagonale se uzajamno polove;
• jedan par naspramnih stranica je paralelan i jednak po dužini;
• susedni uglovi su suplementni;
• svaka dijagonala deli četvorougao na dva podudarna trougla;
• zbir kvadrata stranica jednak je zbiru kvadrata dijagonala (Ovo je paralelogramski zakon.);
• ima rotacionu simetriju reda 2;
• zbir udaljenosti od bilo koje unutrašnje tačke do stranica je nezavisna od lokacije tačke. (Ovo je proširenje Vivianijeve teoreme.)
• Postoji tačka X u ravni četvorougla sa svojstvom da svaka prava linija kroz X deli četvorougao na dva područja jednake površine.

Stoga, svi paralelogrami imaju sva gorenavedena svojstva, i obrnuto; ako je samo jedna od ovih izjava tačna u jednostavnom četvorouglu, onda je to paralelogram.

Formule

Visine	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta$ $h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$
Dijagonale	$e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha }}$ $f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha }}$
Obim	$O=2(a+b)\,$
Površina	$P=ah_{a}=bh_{b}=\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$ $S\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f\cdot \sin \theta$
Zakon paralelograma	$e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)$

Formula površine

Paralelogram se može preurediti u pravougaonik sa istom površinom.

Animacija za formulu površine $K=bh$.

Sve formule površina za opšte konveksne četvorouglove važe za paralelograme. Dalje formule su specifične za paralelograme:

Paralelogram sa osnovom b i visinom h može se podeliti na četvorougao i pravougaoni trougao i preurediti u pravougaonik, kao što je prikazano na slici levo. To znači da je površina paralelograma ista kao i površina pravougaonika sa istom osnovom i visinom:

$K=bh.$

Površina paralelograma je površina plave oblasti, koja je unutrašnjost paralelograma.

Formula za površinu oblika osnove × visina se takođe može izvesti pomoću slike sa desne strane. Površina K paralelograma desno (plava oblast) je ukupna površina pravougaonika umanjena za površinu dva narandžasta trougla. Površina pravougaonika je

$K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,$

a površina pojedinačno narandžastog trougla je

$K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,$

Dakle, površina paralelograma je

$K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.$

Druga formula površine, za dve stranice B i C i ugao θ, je

$K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,$

Površina paralelograma sa stranicama B i C (B ≠ C) i uglom $\gamma$ na preseku dijagonala je data sa

$K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.$

Kada se paralelogram odredi iz dužina B i C dve susedne stranice zajedno sa dužinom D₁ bilo koje dijagonale, tada se površina može naći iz Heronove formule. Specifično to je

$K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}$

gde je $S=(B+C+D_{1})/2$ i vodeći faktor 2 dolazi iz činjenice da izabrana dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla.

Površina u kontekstu Dekartovih koordinata temena

Neka vektori $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ i neka $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ označavaju matricu sa elementima a i b. Tada je površina paralelograma koju generišu a i bjednaka $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$.

Neka su vektori $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ i neka je $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$. Tada je površina paralelograma koju generiše a i b jednaka ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$.

Neka su tačke $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$. Tada je površina paralelograma sa vrhovima na a, b i c ekvivalentna apsolutnoj vrednosti determinante matrice izgrađene korišćenjem a, b i c kao redova sa poslednjom kolonom dopunjenom jedinicama na sledeći način:

$K=\left|\,\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.$

Dokaz da se dijagonale dele jedna na drugu

Paralelogram ABCD

Da bi se dokazalo da dijagonale paralelograma dele jedna na drugu napola, mogu se koristiti podudarni trouglovi:

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (naizmenični unutrašnji uglovi su jednaki po meri)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (naizmenični unutrašnji uglovi su jednaki po meri).

(pošto su to uglovi koje transverzala pravi sa paralelnim pravima AB i DC).

Takođe, stranica AB je po dužini jednaka strani DC, pošto su suprotne strane paralelograma jednake po dužini.

Dakle, trouglovi ABE i CDE su podudarni (ASA postulat, dva odgovarajuća ugla i uključena stranica).

Stoga,

$AE=CE$

$BE=DE.$

Pošto dijagonale AC i BD dele jedna drugu na segmente jednake dužine, dijagonale se prepolovljavaju. Osim toga, pošto se dijagonale AC i BD prepolovljavaju u tački E, tačka E je središte svake dijagonale.

Rešetka paralelograma

Paralelogrami mogu popločati ravan translacijom. Ako su ivice jednake ili su uglovi pravi, simetrija rešetke je veća. Oni predstavljaju četiri Braveove rešetke u 2 dimenzije.

Rešetke

Forma	Kvadrat	Pravougaonik	Romr	Paralelogram
Sistem	Kvadratin (tetragonalni)	Pravougaoni (ortorombni)	Centrirano pravougaoni (ortorombni)	Kosi (monoklinika)
Ograničenja	α=90°, a=b	α=90°	a=b	None
Simetrija	p4m, [4,4], order 8n	pmm, [∞,2,∞], order 4n		p1, [∞+,2,∞+], order 2n
Forma

Literatura

• Abbott, Timothy Good (2008), „3.1.2 Contraparallelograms”, Generalizations of Kempe's Universality Theorem (PDF) (Master's thesis), Massachusetts Institute of Technology, str. 34—36 
• Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401—450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, JSTOR 91532, MR 0062446, S2CID 202575183, doi:10.1098/rsta.1954.0003 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, str. 212, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138 
• Cundy, H. Martyn (mart 2005), „89.23 The lemniscate of Bernoulli”, The Mathematical Gazette, 89 (514): 89—93, S2CID 125521872, doi:10.1017/s0025557200176855 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Begalla, Engjëll; Perucca, Antonella (2020), „The ABCD of cyclic quadrilaterals”, Uitwiskeling, University of Luxembourg, hdl:10993/43232 
• Dijksman, E. A. (1976), Motion Geometry of Mechanisms, Cambridge University Press, str. 203, ISBN 9780521208413 
• Demaine, Erik; O'Rourke, Joseph (2007), Geometric Folding Algorithms, Cambridge University Press, str. 32—33, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
• Grebenikov, Evgenii A.; Ikhsanov, Ersain V.; Prokopenya, Alexander N. (2006), „Numeric-symbolic computations in the study of central configurations in the planar Newtonian four-body problem”, Computer algebra in scientific computing, Lecture Notes in Comput. Sci., 4194, Berlin: Springer, str. 192—204, MR 2279793, doi:10.1007/11870814_16 
• Glaeser, Georg (2020), „Antiparallelograms; It does not always have to be a uniform rotation ...”, Geometry and its Applications in Arts, Nature and Technology, Springer International Publishing, str. 428—429, ISBN 978-3-030-61397-6, S2CID 241160811, doi:10.1007/978-3-030-61398-3 
• De Villiers, Michael (2015), „Slaying a geometrical 'monster': finding the area of a crossed quadrilateral”, Learning and Teaching Mathematics, 2015 (18): 23—28, hdl:10520/EJC175721 
• Muirhead, R. F. (februar 1901), „Geometry of the isosceles trapezium and the contra-parallelogram, with applications to the geometry of the ellipse”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 20: 70—72, doi:10.1017/s0013091500032892  CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Norton, Robert L. (2003), Design of Machinery, McGraw-Hill Professional, str. 51, ISBN 978-0-07-121496-4 
• Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008), „3.3 The Crossed Parallelogram”, How Round Is Your Circle? Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press, str. 54—56, ISBN 978-0-691-13118-4 
• Sossinsky, Alexey (2016), „Configuration spaces of planar linkages”, Handbook of Teichmüller theory, Vol. VI, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 27, Zürich: European Mathematical Society, str. 335—373, MR 3618193 

• van Schooten, Frans (1646), De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione, str. 49—50, 69—70 

• Yates, Robert C. (mart 1941), „The trisection problem”, National Mathematics Magazine, 15 (6): 278—293, JSTOR 3028413, doi:10.2307/3028413 CS1 održavanje: Format datuma (veza)

Spoljašnje veze

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Parallelogram”. MathWorld. 
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet