Partitivni skup
U matematici, za dati skup S, partitivni skup od S, što se zapisuje kao , P(S), ili 2S, je skup svih podskupova od S. U aksiomatskoj teoriji skupova (na primer u Zermelo-Frenkel teorija skupova sa aksiomom izbora), postojanje partitivnog skupa bilo kog skupa je postulat aksiome partitivnog skupa.
Svaki podskup F od se naziva familijom skupova nad S.
Na primer, ako je S skup {a, b, c} tada je potpun spisak podskupova od S sledeći:
- { } (prazan skup)
- {a}
- {b}
- {c}
- {a, b}
- {a, c}
- {b, c}
- {a, b, c}
i stoga je partitivni skup od S
Ako je S konačan skup sa S| = n elemenata, tada partitivni skup od S sadrži elemenata. (Elementi partitivnog skupa se mogu - kao što se u računarstvu nekada čini - predstaviti kao n-bitni brojevi; n-ti bit određuje prisustvo ili odsustvo n-tog elementa od S. Ima tačno 2n takvih elemenata.)
Kantorov dijagonalni postupak pokazuje da partitivni skup nekog skupa (bio on beskonačan ili ne), uvek ima strogo veću kardinalnost od samog skupa (neformalno, partitivni skup mora biti 'veći' od originalnog skupa). Partitivni skup prirodnih brojeva se na primer može staviti u bijekciju sa skupom realnih brojeva (vidi kardinalnost kontinuuma).
Partitivni skup skupa S, zajedno sa operacijama unije, preseka i komplementa se može posmatrati kao prototipski primer Bulove algebre. U stvari, može se pokazati da je svaka konačna Bulova algebra izomorfna Bulovoj algebri partitivnog skupa konačnog skupa. Za beskonačne Bulove algebre ovo više ne važi, ali je svaka beskonačna Bulova algebra podalgebra Bulove algebre partitivnog skupa (mada ovo nije uvek posebno praktično za predstavljanje beskonačne Bulove algebre).
Partitivni skup skupa S gradi Abelovu grupu kada se posmatra sa operacijom simetričke razlike (sa praznim skupom kao jedinicom i svakim skupom kao svojim inverzom) i komutativnu polugrupu kada se posmatra sa operacijom preseka. Stoga se može pokazati (dokazivanjem distributivnog zakona) da partitivni skup kad se posmatra sa obe ove operacije gradi komutativni prsten.
Literatura uredi
- Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002655-1.