Parcijalni izvod

дериват функције неколико променљивих у односу на једну променљиву, док се остале држе константним

U matematici, parcijalni izvod funkcije sa nekoliko promenljivih je njen izvod po jednoj od tih promenljivih, dok se druge drže konstantnim (za razliku od totalnog izvoda, u kome je svim promenljivama dozvoljeno da variraju). Parcijalni izvodi se koriste u vektorskom kalkulusu i diferencijalnoj geometriji.

Ako postoje konačne granične vrednosti količnika priraštaja funkcije u tački sa odgovarajućim priraštajima nezavisno promenljivih takve da teže nuli, tada se te granične vrednosti nazivaju parcijalnim izvodima funkcije u tački .

Parcijalni derivat funkcije po promenljivoj se različito označava sa

Ponekad, ako je parcijalni izvod u pogledu se označava sa Pošto su parcijalni derivati generalno funkcije istih promenljivih kao i originalne funkcije, ta funkcionalna zavisnost se ponekad eksplicitno uvrštava u notaciju, kao u

Simbol koji se koristi za označavanje parcijalnih derivata je . Jedna od prvih poznatih upotreba tog simbola u matematici je prisutna u radu Markiza de Kordoseta i 1770, gde ga je on koristio za parcijalne izvode. Moderna notacija parcijalnih izvoda potiče od Adrijen-Mari Ležandra (1786), mada ju je on kasnije napustio; Karl Gustav Jakob Jakobi je ponovo uveo simbol 1841. godine.[1]

Definicija uredi

Kao i obični derivati, parcijalni derivat je definisan kao limit. Neka je U otvoreni podskup od   i   funkcija. Parcijalni derivat od f u tački   u odnosu na i-tu promenljivu xi je definisan kao

 

Čak i ako svi parcijalni derivati ∂f/∂xi(a) postoje u datoj tački a, funkcija ne mora tamo biti kontinuirana. Međutim, ako svi parcijalni derivati postoje u okolini a i tamo su kontinuirani, tada je f potpuno diferencijabilna u tom susedstvu i totalni izvod je kontinuiran. U ovom slučaju se kaže da je f funkcija C11. Ovo se može koristiti za generalizaciju za vektorske funkcije,  , pažljivo koristeći komponentni argument.

Parcijalni derivat   se može posmatrati kao još jedna definisana funkcija na U i opet se može parcijalno diferencirati. Ako su svi mešoviti parcijalni izvodi drugog reda kontinuirani u tački (ili na skupu), f se u toj tački (ili na tom skupu) naziva C2 funkcija; u ovom slučaju se parcijalni derivati mogu zameniti Klajrautovom teoremom:

 

Notacija uredi

Za sledeće primere, neka je   funkcija u   i  .

Parcijalni derivati prvog reda:

 

Parcijalni derivati drugog reda:

 

Mešoviti derivati drugog reda:

 

Parcijalni i viši derivati višeg reda:

 

Kada se radi o funkcijama više promenljivih, neke od ovih promenljivih mogu biti povezane jedna s drugom, te će možda biti potrebno da se eksplicitno navede koje se promenljive drže konstantnim kako bi se izbegla nejasnoća. U poljima kao što je statistička mehanika, parcijalni derivat od   u odnosu na  , držeći   i   konstantnim, često se izražava kao

 

Konsekventno, radi jasnoće i jednostavnosti zapisa, parcijalni derivat funkcije i vrednost funkcije u određenoj tački su povezani tako što uključuju argumente funkcije kada se koristi simbol parcijalnog derivata (Lajbnicov zapis). Dakle, izraz poput

 

se koristi za funkciju, dok se

 

može koristiti za vrednost funkcije u tački  . Međutim, ova konvencija se ne koristi kada se želi da se proceni parcijalni derivat u tački poput  . U takvom slučaju, vrednovanje funkcije mora biti izraženo na nezgrapan način kao

 

ili

 

kako bi se koristio Lajbnicov zapis. Stoga, u ovim slučajevima, može da bude poželjnije da se koristi Ojlerov diferencijalni zapis operatora sa   kao simbol parcijalnog izvoda u odnosu na i-tu promenljivu. Na primer, moglo bi se napisati   za gore opisani primer, dok izraz   predstavlja funkciju parcijalnog izvoda u odnosu na prvu promenljivu.[2]

Za parcijalne derivate višeg reda, parcijalni derivat (funkcija) od   u odnosu na ј-tu promenljivu označena je sa  . Stoga je,  , tako da su promenljive navedene po redosledu uzimanja derivata, i otuda obrnutim redosledom od toga kako se obično beleži kompozicija operatora. Naravno, Klajrautova teorema implicira da je   dokle god su zadovoljeni relativno blagi uslovi regularnosti na f.

Gradijent uredi

Važan primer funkcije više promenljivih je slučaj funkcije skalarne vrednosti f(x1, …, xn) na domenu u Euklidskom prostoru   (npr. na   ili  ). U ovom slučaju f ima parcijalni derivat ∂f/∂xj u odnosu na svaku promenljivu xj. U tački a, ovi parcijalni derivati definišu vektor

 

Ovaj vektor se naziva gradijent od f u a. Ako je f diferencijabilno u svakoj tački u nekom domenu, onda je gradijent vektorski-vrednosna funkcija ∇f koja vodi tačku a u vektor ∇f(a). Shodno tome, gradijent proizvodi vektorsko polje.

Uobičajena zloupotreba zapisa je definisanje del operatora (∇) na sledeći način u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru   sa jediničnim vektorima  :

 

Ili, uopštenije, za n-dimenzionalni Euklidski prostor   sa koordinatama   i jediničnim vektorima  :

 

Direkcioni derivat uredi

 
Konturni grafikon od  , koji prikazuje gradijentni vektor u crnoj boji, i jedinični vektor   skaliran usmerenom derivatom u pravcu   u narandžastoj boji. Vektor gradijenta je duži, jer gradijent orjentisan u smeru najveće stope povećanja funkcije.

Direkcioni derivat skalarne funkcije

 

duž vektora

 

je funkcija   definisana pomoću limita[3]

 

Ova definicija važi u širokom spektru konteksta, na primer gde je norma vektora (a samim tim i jedinični vektor) nedefinisana.[4]

Primer uredi

Pretpostavimo da je f funkcija više od jedne promenljive. Na primer,

 .
Grafikon z = x2 + xy + y2. Za parcijalni izvod u (1, 1) to daje konstantu y, što korespondira tangenti je paralelna sa xz-ravni.
Deo gornjeg grafikona koji prikazuje funkciju u xz-ravnini na y = 1. Treba imati na umu da su dve ose ovde prikazane sa različitim skalama. Nagib tangentne linije je 3.

Grafikon ove funkcije definiše površinu u Euklidovom prostoru. Za svaku tačku na ovoj površini postoji beskonačan broj tangentnih linija. Parcijalna diferencijacija je čin odabira jedne od ovih linija i pronalaženja njenog nagiba. Obično su najzanimljivije linije one koje su paralelne sa  -ravni, i one koje su paralelne sa iz  -ravni (koje rezultiraju iz držanja   ili   konstantnim, respektivno).

Da bi se pronašao nagib linije koja je tangentna na funkciju u   i paralelna sa  -ravni,   se tretira kao konstanta. Grafikon i ova ravan su prikazani desno. U nastavku se vidi kako funkcija izgleda u ravni  . Pronalaženjem derivata jednačine uz pretpostavku da je   konstanta, otkriva se da je nagib   u tački  :

 .

Dakle, u  , zamenom, nagib je 3. Zbog toga,

 

u tački  . To jest, parcijalni derivat   u odnosu na   u   je 3, kao što je prikazano na grafikonu.

Funkcija f se može ponovo tumačiti kao porodica funkcija jedne promenljive indeksirane drugim promenljivama:

 

Drugim rečima, svaka vrednost y definiše funkciju, označenu sa fy , koja je funkcija jedne promenljive x.[a] To jest,

 

U ovom odeljku oznaka indeksa fy označava funkciju zavisnu od fiksne vrednosti y, a ne delimičan derivat.

Kada se izabere vrednost y, recimo a, onda f(x,y) određuje funkciju fa koja prati krivu x2 + ax + a2 na  -ravni:

 .

U ovom izrazu, a je konstanta, a ne promenljiva, te je fa funkcija samo jedne realne promenljive, koja je x. Shodno tome, primenjuje se definicija derivata za funkciju jedne promenljive:

 .

Gore navedeni postupak se može izvesti za bilo koji izbor a. Sklapanje derivata zajedno u funkciju daje funkciju koja opisuje varijaciju f u smeru x:

 

Ovo je parcijalni izvod f u odnosu na x. Ovde je zaokruženo d koji se naziva simbol parcijalnog izvoda; da bi se razlikovao od slova d, se ponekad izgovara kao „parcijal“.

Parcijalni izvodi višeg reda uredi

Parcijalni derivati drugog i višeg reda su definisani analogno derivatima višeg reda univarijantnih funkcija. Za funkciju   „sopstveni” drugi parcijalni derivat u odnosu na to x je jednostavno parcijalni derivat parcijalnog derivata (obe u odnosu na x):[5]:316–318

 

Ukrštena parcijalna derivacija u odnosu na x i y dobija se uzimanjem parcijalnog izvoda od f u odnosu na x, a zatim se uzima parcijalni izvod rezultata u odnosu na y, da bi se dobilo

 

Švarcova teorema navodi da ako su drugi derivati kontinuirani, na izraz za unakrsnu parcijalnu derivaciju nema uticaja po kojoj varijabli se parcijalna derivacija prvo vrši. Drugim rečima,

 

ili ekvivalentno  

Sopstveni i unakrsni parcijalni derivati pojavljuju se u Hesovoj matrici koja se koristi u uslovima drugog reda u problemima optimizacije.

Napomene uredi

  1. ^ Ovo se takođe može izraziti kao pridruživanje između konstrukcija produkta prostora i funkcionog prostora.

Reference uredi

  1. ^ Miller, Jeff (14. 6. 2009). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Earliest Uses of Various Mathematical Symbols. Pristupljeno 20. 2. 2009. 
  2. ^ Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. str. 44. ISBN 9780805390216. 
  3. ^ R. Wrede; M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd izd.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7. 
  4. ^ The applicability extends to functions over spaces without a metric and to differentiable manifolds, such as in general relativity.
  5. ^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.

Spoljašnje veze uredi