Pojina konjektura

Pojina konjektura je matematička konjektura koja tvrdi da 'većina' (to jest više od 50%) prirodnih brojeva manjih od bilo kog datog broja imaju neparan broj prostih delilaca. Konjekturu je postavio mađarski matematičar Đerđ Poja 1919. Ova konjektura je opovrgnuta, a veličina najmanjeg kontraprimera se često koristi da se pokaže kako konjektura može biti tačna za mnoge brojeve, a da ipak postoji kontraprimer.

Сумарна Лиувилова функција L(n) za vrednosti do $n=10^{7}$. Vidne oscilacije se javljaju usled prvih netrivijalnih nula Rimanove zeta funkcije.

Iskaz

Pojina konjektura tvrdi da za svako n (>1), ako podelimo prirodne brojeve manje od n (isključujući 0) u one koji imaju neparan broj prostih delilaca i one koji imaju paran broj prostih delilaca, onda će prva grupa imati više članova, ili će obe grupe imati isti broj članova. (Ponovljeni prosti delioci se računaju odgovarajući broj puta - stoga 24 = 2³ * 3¹ ima 3+1 = 4 prostih delioca, što je paran broj, dok 30 = 2 * 3 * 5 ima 3 prosta delioca, što je neparan broj.)

Takođe, konjektura se može iskazati preko sumarne Liuvilove funkcije. Konjektura glasi

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0$

za svako n. Ovde je $\lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}$ pozitivno ako je broj prostih delilaca celog broja k paran, a negativno ako je neparan. Funkcija veliko omega broji ukupan broj prostih delilaca celog broja.

Opovrgavanje

Pojinu konjekturu je opovrgao C. B. Haselgrov 1958. godine. On je pokazao da za konjekturu postoji kontraprimer, za koji je procenio da se nalazi oko broja 1.845 × 10³⁶¹.

Eksplicitan kontraprimer, $n=906180359$ je dao R. S. Leman 1960; najmanji kontraprimer je $n=906150257$, a našao ga je Minoru Tanaka 1980.

Pojina konjektura ne važi za većinu vrednosti $n$ u oblasti $906150257\leq n\leq 906488079$. U ovoj oblasti funkcija ima maksimum od 829 u vrednosti $n=906316571$.

Literatura

• G. Pólya, "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie." Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
• Haselgrove, C.B. (1958). „A disproof of a conjecture of Pólya”. Mathematika. 5: 141—145. 
• R.S. Lehman, On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
• M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, (1980) 187-189.
• Erik V. Vajsštajn Pojina konjektura na sajtu Mathworld