Recipročna vrednost

Recipročna vrednost nekog broja $x$, koja se označava sa ${\frac {1}{x}}$ ili $x^{-1}$, je broj koji kada se pomnoži sa $x$ daje 1. Recipročna vrednost razlomka ${\frac {a}{b}}$ je ${\frac {b}{a}}$. Za dobijanje recipročne vrednosti realnog broja, potrebno je podeliti 1 sa tim brojem. Na primer, recipročna vrednost broja 5 je jedna petina (${\frac {1}{5}}$ ili 0,2) a recipročna vrednost broja 0,25 je 1 podeljen sa 0,25, odnosno 4. Recipročna funkcija, funkcija $f(x)$ koja preslikava $x$ u ${\frac {1}{x}}$, je jedan od najjednostavnijih primera funkcije koja je sama sebi inverzna (involucija).

Recipročna funkcija y = 1/x. Za svako x osim 0, y predstavlja njegovu recipročnu vrednost. Grafik formira pravougaonu hiperbolu.

Notacija $f^{-1}$se ponekad koristi i za inverznu funkciju funkcije $f$, koja uopšte nije jednaka recipročnoj vrednosti. Na primer, recipročna vrednost ${\frac {1}{\sin {x}}}=(\sin {x})^{-1}$je kosekans od $x$, i nije inverzni sinus tj. arkus sinus od $x$ koji se označava sa $\sin ^{-1}{x}$ili $\arcsin {x}$. Terminološka razlika između recipročne i inverzne vrednosti nije dovoljna kako bi se razlikovale ove dve stvari, pošto mnogi autori preferiraju konvenciju suprotnog imenovanja, verovatno iz istorijskih razloga (na primer, na francuskom, inverzna funkcija se radije naziva recipročna bijekcija).

Kompleksni brojevi

Recipročna vrednost kompleksnog broja različitog od nule $z=a+bi$ je kompleksna. Dobija se množenjem množenjem i brojioca i imenioca ${\frac {1}{z}}$ sa njegovim kompleksnim konjugovano kompleksnim brojem ${\bar {z}}=a-bi$ i korišćenjem osobine da je $z{\bar {z}}=\|z\|^{2}$, kvadrirana apsolutna vrednost $z$, što je realan broj $a^{2}+b^{2}$:

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.$

Konkretno, ako je $\|z\|$ = 1, onda je ${\frac {1}{z}}={\bar {z}}$.

Za kompleksni broj u polarnom obliku $z=r(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi })$, recipročna vrednost jednostavno uzima recipročnu vrednost intenziteta $r$ i negativ uglova:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos {(-\varphi )}+i\sin {(-\varphi )}\right).$

Infinitezimalni račun

Izvod

Izvod funkcije ${\frac {1}{x}}=x^{-1}$je dat na osnovu izvoda stepene funkcije, gde je stepen -1:

${\frac {d}{dx}}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{{\frac {1}{x^{2}}}.$

Integral

Integral stepene funkcije (Kavalijerijeva kvadratna formula) se ne može koristiti kako bi se izračunao integral ${\frac {1}{x}}$, zato što bi to dovelo do deljenja sa nulom:

$\int {\frac {1}{x}}\,dx={\frac {x^{0}}{0}}\ +C$.

Umesto toga, integral se računa po

$\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}dx=\ln {a},$

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x+C.$

gde je $\ln$prirodni logaritam. Kako bismo ovo pokazali, treba uzeti u obzir da je ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$, pa ako je $y=e^{x}$i $x=\ln {y}$, imamo:

${\frac {dy}{dx}}=y\quad \Rightarrow \quad {\frac {dy}{y}}=dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=\int 1\,dx\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {1}{y}}\,dy=x+C=\ln y+C.$

Vidi još

• Deljenje
• Razlomak
• Grupa (matematika)
• Algebarski prsten
• Eksponencijalni raspad
• Hiperbola