Romb

Romb je u geometriji četvorougao iz klase paralelograma kome su sve stranice jednakih dužina. Karakteriše ga proizvoljna veličina ugla između dve njegove strane, koja može da varira u realnom intervalu (0,π). Specijalan slučaj romba kome su stranice normalne jedna na drugu je kvadrat.

Romb
Romb u dve različite orijentacije
Tip	četvorougao, trapez, paralelogram, zmaj
Ivice i temena	4
Dijagram Kokstera
Simetrična grupa	diedralna (D2), [2], (*22), red 4
Površina	$K={\frac {p\cdot q}{2}}$ (pola proizvoda dijagonala)
Dvostruki mnogougao	pravougaonik
Svojstva	konveksan, izotoksalan

Romb se često naziva „dijamant“, po dijamanatima špila karta za igranje gde jedan od simbola podseća na projekciju oktaedarskog dijamanta ili romb, iako se dijamant ponekad posebno odnosi na romb sa uglom od 60° (koji neki autori nazivaju kalison po francuskom slatkišu &ndash vidi i poliamond), a ovo drugo se ponekad odnosi na romb sa uglom od 45°.

Formule

Romb i njegovi značajniji elementi: Temena A, B, C i D, dužine stranica a, visina h, dijagonale d₁ i d₂ i uglovi α i β.

Visina	$h=a\sin \alpha =a\sin \beta$ $h={\frac {d_{1}d_{2}}{2a}}$
Obim	$O=4a$
Površina	$P=ah={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}$
Dijagonale	$d_{1}=2a\sin {\frac {\beta }{2}}=2a\cos {\frac {\alpha }{2}}$ $d_{2}=2a\sin {\frac {\alpha }{2}}=2a\cos {\frac {\beta }{2}}$
Poluprečnik upisane kružnice	$\rho \,=\,{\frac {1}{2}}\cdot a\cdot \sin \alpha$

Uglovi

Iz jednakosti strana sledi da su naspramni uglovi romba jednaki, što znači da postoje samo dve različite veličine uglova između strana romba: α i β.

$\angle BAD=\angle DCB,\;\;\angle CBA=\angle ADC$

Sa druge strane pravilo o zbiru uglova u četvorouglu jednoznačno određuje vrednost veličine drugog ugla, ukoliko je prvi poznat, te je romb određen samo sa dužinom stranice i jednim uglom:

$\alpha +\beta +\alpha +\beta =2(\alpha +\beta )=360^{\circ }$

$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Uglovi između dijagonala romba su pravi tj. jednaki 90°.

Etimologija

Reč „romb” dolazi od stgrč. ῥόμβος, što znači nešto što se okreće, što potiče od glagola ῥέμβω, romanizovanog: rhémbō, što znači „okretati se u krug“. Reč su koristili i Euklid i Arhimed, koji su koristili termin „pravougani romb“ za bikonus, dva desna kružna konusa koji dele zajedničku osnovu.

Površina koja se danas naziva romb je poprečni presek bikonusa na ravni kroz vrhove dva konusa.

Karakterizacije

Jednostavan četvorougao (kod kog nema samopresecanja) je romb ako i samo ako važi jedno od sledećeg:

• paralelogram u kome dijagonala deli unutrašnji ugao na pola
• paralelogram u kome su najmanje dve uzastopne stranice jednake po dužini
• paralelogram u kome su dijagonale okomite (ortodijagonalni paralelogram)
• četvorougao sa četiri stranice jednake dužine (po definiciji)
• četvorougao u kome su dijagonale normalne i dele jedna drugu polovinu
• četvorougao u kome svaka dijagonala deli dva suprotna unutrašnja ugla
• četvorougao ABCD koji ima tačku P u svojoj ravni tako da su četiri trougla ABP, BCP, CDP, i DAP svi podudarni
• četvorougao ABCD u kome upisane kružnice u trouglovima ABC, BCD, CDA i DAB imaju zajedničku tačku.

Osnovna svojstva

Svaki romb ima dve dijagonale koje spajaju parove suprotnih temena i dva para paralelnih stranica. Koristeći podudarne trouglove, može se dokazati da je romb simetričan preko svake od ovih dijagonala. Iz toga sledi da bilo koji romb ima sledeća svojstva:

• Suprotni uglovi romba imaju jednaku meru.
• Dve dijagonale romba su normalne; odnosno romb je ortodijagonalni četvorougao.
• Njegove dijagonale seku suprotne uglove.

Prvo svojstvo implicira da je svaki romb paralelogram. Romb stoga ima sva svojstva paralelograma: na primer, suprotne strane su paralelne; susedni uglovi su dopunski; dve dijagonale seku jedna drugu; bilo koja linija koja prolazi kroz sredinu deli oblast na pola; a zbir kvadrata stranica jednak je zbiru kvadrata dijagonala (zakon paralelograma). Stoga se označava zajednička strana kao a, a dijagonale kao p i q, u svakom rombu

$\displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.$

Nije svaki paralelogram romb, iako je svaki paralelogram sa normalnim dijagonalama (drugo svojstvo) romb. Generalno, svaki četvorougao sa normalnim dijagonalama, od kojih je jedna linija simetrije, je zmaj. Svaki romb je zmaj, a svaki četvorougao koji je i zmaj i paralelogram je romb.

Romb je tangencijalni četvorougao. To jest, ima upisan krug koji je tangentan na sve četiri strane.

Romb. Svaki ugao označen crnom tačkom je pravi ugao. Visina h je normalno rastojanje između bilo koje dve nesusedne stranice, koje je jednako prečniku upisanog kruga. Dijagonale dužina p i q su crveni isprekidani segmenti.

Dijagonale

Dužina dijagonala p = AC i q = BD može se izraziti preko strane romba a i jednog temenog ugla a kao

$p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}$

i

$q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.$

Ove formule su direktna posledica zakona kosinusa.

Upisani poluprečnik

Inradijus (poluprečnik kruga upisanog u romb), označen sa r, može se izraziti dijagonalamap i q kao

$r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},$

ili u smislu dužine stranice a i bilo kog vršnog ugla α ili β as

$r={\frac {a\sin \alpha }{2}}={\frac {a\sin \beta }{2}}.$

Površina

Kao i za sve paralelograme, površina K romba je proizvod njegove osnove i visine (h). Osnova je jednostavno bilo koja dužina stranice a:

$K=a\cdot h.$

Površina se takođe može izraziti kao baza na kvadrat puta sinus bilo kog ugla:

$K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,$

ili u smislu visine i temenog ugla:

$K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},$

ili kao polovina proizvoda dijagonala p, q:

$K={\frac {p\cdot q}{2}},$

ili kao poluperimetar puta poluprečnik kruga upisanog u romb (inradijus):

$K=2a\cdot r.$

Drugi način, koji je zajednički sa paralelogramima, je da se dve susedne stranice smatraju vektorima, formirajući bivektor, te je površina veličina bivektora (veličina vektorskog proizvoda dva vektora), koja je determinanta dva vektora Dekartovske koordinate vektora: K = x₁y₂ – x₂y₁.

Dekartova jednačina

Stranice romba sa centrom u koordinatnom početku, sa dijagonalama koje padaju na ose, sastoje se od svih tačaka (x, y) koje zadovoljavaju

$\left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.$

Temena su u $(\pm a,0)$ i $(0,\pm b).$ Ovo je poseban slučaj superelipse, sa eksponentom 1.

Ostala svojstva

• Jedan od pet tipova 2D rešetke je rombična rešetka, koja se takođe naziva centrirana pravougaona rešetka.
• Identični rombi mogu popločiti 2D ravan na tri različita načina, uključujući, za romb od 60°, rombno popločavanje.

Kao topološko kvadratno popločavanje		Kao rombno popločavanje sa 30-60 stepeni

• Trodimenzionalni analozi romba uključuju bipiramidu i bikonus.
• Nekoliko poliedara ima rombna lica, kao što su rombni dodekaedar i trapezo-rombni dodekaedar.

Neki poliedri sa svim rombičnim licima

Izoedarski poliedri		Neizoedarski poliedri
Identični rombovi	Identični zlatni rombovi		Dva tipa romba	Tri tipa romba
Rombni dodekaedar	Rombni triakotaedar	Rombni ikosaedar	Rombni eneakontaedar	Romboedar

Literatura

• Anthony Pugh (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. 
• Ljiljana Petruševski - Poliedri
• Cromwell, P.;Polyhedra, CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B. (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ur.: Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; et al. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. str. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. 
• Grünbaum, B.; Are your polyhedra the same as my polyhedra? Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift, ed. Aronov et al. Springer (2003) pp. 461–488. (pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (3. avgust 2016))
• Bertrand, J. (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46, pp. 79–82.
• Haeckel, E. (1904). Kunstformen der Natur. Available as Haeckel, E. Art forms in nature, Prestel USA (1998), ISBN 3-7913-1990-6, or online at https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html
• Smith, J. V. (1982). Geometrical And Structural Crystallography. John Wiley and Sons.
• Sommerville, D. M. Y. (1930). An Introduction to the Geometry of n Dimensions. E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
• Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. ISBN 0-486-61480-8
• Whitney, Hassler (1932). „Congruent graphs and the connectivity of graphs”. Amer. J. Math. 54 (1): 150—168. JSTOR 2371086. doi:10.2307/2371086. hdl:10338.dmlcz/101067. 
• Blind, Roswitha; Mani-Levitska, Peter (1987), „Puzzles and polytope isomorphisms”, Aequationes Mathematicae, 34 (2–3): 287—297, MR 921106, doi:10.1007/BF01830678 
• Kalai, Gil (1988), „A simple way to tell a simple polytope from its graph”, Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, 49 (2): 381—383, MR 964396, doi:10.1016/0097-3165(88)90064-7 
• Kaibel, Volker; Schwartz, Alexander (2003). „On the Complexity of Polytope Isomorphism Problems”. Graphs and Combinatorics. 19 (2): 215—230. arXiv:math/0106093 . doi:10.1007/s00373-002-0503-y. Arhivirano iz originala 2015-07-21. g. 
• Büeler, B.; Enge, A.; Fukuda, K. (2000). „Exact Volume Computation for Polytopes: A Practical Study”. Polytopes — Combinatorics and Computation. str. 131. ISBN 978-3-7643-6351-2. doi:10.1007/978-3-0348-8438-9_6. 
• Yao, Andrew Chi Chih (1981), „A lower bound to finding convex hulls”, Journal of the ACM, 28 (4): 780—787, MR 677089, doi:10.1145/322276.322289 ; Ben-Or, Michael (1983), „Lower Bounds for Algebraic Computation Trees”, Proceedings of the Fifteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '83), str. 80—86, doi:10.1145/800061.808735 
• Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd izd.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167 .
• Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), „Duality of polyhedra”, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617—642, doi:10.1080/00207390500064049 .
• Grünbaum, Branko (2003), „Are your polyhedra the same as my polyhedra?”, Ur.: Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha, Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, 25, Berlin: Springer, str. 461—488, CiteSeerX 10.1.1.102.755 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21 .
• Grünbaum, Branko (2007), „Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs”, Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445—463, MR 2287486, doi:10.1016/j.disc.2005.09.037 .
• Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), „Duality of polyhedra”, Ur.: Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, str. 211—216, ISBN 978-0-387-92713-8, MR 3077226, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_15 .
• Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR 0730208 .
• Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688 
• de Villiers, Michael, "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons", Mathematical Gazette 95, March 2011, 102-107.

Spoljašnje veze

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Rhombus definition, Math Open Reference
• Rhombus area, Math Open Reference