Štefan—Bolcmanov zakon

Štefan—Bolcmanov zakon zračenja tvrdi da je ukupna, to jest integralna emisiona moć apsolutno crnog tela proporcionalna četvrtom stepenu njegove apsolutne temperature:

Ukupna izračena energija apsolutno crnog tela u funkciji temperature

$j^{\star }=\sigma T^{4},$

gde se temperatura izražena u Kelvinima, a konstanta proporcionalnosti se naziva Štefan—Bolcmanova konstanta i iznosi $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400\times 10^{-8}{\textrm {J\,s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}.$

Štefan—Bolcmanov zakon jedan je od osnovnih zakona termalnog zračenja, pored Plankovog i Vinovog zakona. Štefan—Bolcmanova jednačina povezuje gustinu energijskog potoka sa temperaturom tela. Zakon se najčešće primenjuje kao zakon o zračenju apsolutno crnog tela, dok je jednačina komplikovanija i manje precizna ako se primeni na druga tela.

Istorijat

Štefan—Bolcmanov zakon su nezavisno jedan od drugog izveli Jožef Štefan i Ludvig Bolcman. Zakon najpre dobio Štefan, 1879. godine, a zatim ga je Bolcman i izveo 1884. godine.

Jožev Štefan je do formulacije zakona došao na osnovu eksperimentalnih rezultata koje je izmerio Džon Tindal i objavio ga je u članku Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Veza između termalnog zračenja i temperature) u listu Bečke Akademije Nauka. Bolcman je zakon nezavisno izveo pomoću termodinamike. On je analizirajući idealni toplotni izvor koji za radno telo nije koristio gas, već svetlost, računao njegovu ukupnu izračenu energiju u zavisnosti od temperature.

Zakon daje vrlo idealne rezultate za apsolutna crna tela, a vrlo je precizan i za račun kod tela koja se mogu aproksimirati crnim telima. Kod apsolutno crnih tela se sva energija oslobađa u vidu zračenja. Štefan—Bolcmanov zakon se često primenjuje i kod takozvanih sivih tela.

Izvođenje

Ukupna snaga zračenja crnog tela se dobija najpre diferenciranjem Plankove funkcije po temperaturi, a potom integracijom dobijene spektralne gustine snage po talasnoj dužini, za sve talasne dužine od 0 do ∞. Zakonom se opisuje ukupan intenzitet zračenja apsolutno crnog tela. Jednačina se izvodi iz Plankovog zakona zračenja i dobija se

$j^{\star }=\sigma T^{4},$ gde je temperatura izražena u Kelvinima, a $\sigma$ je Štefan—Bolcmanova konstanta koja iznosi $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400\times 10^{-8}{\textrm {J\,s}}^{-1}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}.$

Posmatrajmo malu tanku dvodimenzionalnu površinu apsolutno crnog tela. Njegovo zračenje možemo aproksimirati kao zračenje u obliku sferne polulopte sa zenitnim uglom φ i azimutnim uglom θ, gde je u ravni u kojoj se telo nalazi φ = ^π/₂.

Intenzitet emitovanog zračenja crnog tela opisuje se Plankovim zakonom:

$I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}},$

gde je $I(\nu ,T)\,$ zapreminska snaga, tj. količina snage po jedinici površine u jediničnom uglu emitovane na frekvenciji $\nu \,$ kada crno telo ima temperaturu T, $h\,$ je Plankova konstanta, $c\,$ je brzina svetlosti, a $k\,$ je Bolcmanova konstanta. Veličina $I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega$ se naziva izračena snaga sa površine А kroz ugao dΩ u intervalu frekvencije između ν i ν + dν.

Štefan—Bolcmanov zakon se dobija iz emitovane snaga sa jedinične površine:

${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int d\Omega \,$

Da bismo dobili tu emitovanu snagu sa jedinične površine, potrebno je integrisati ugao Ω po celoj polusferi, a frekvenciju ν integrisati kroz sve vrednosti od 0 do ∞. Kako je dΩ = sin(φ) dφ dθ, dobija se:

${\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi /2}\cos \phi \sin \phi \,d\phi =\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu ={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu .\,$

Koristeći smenu $u={\frac {h\nu }{kT}}\,$ gde je $du={\frac {h}{kT}}\,d\nu ,$ dobija se:

${\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du.$

Integral $\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du$ jednak je ${\frac {\pi ^{4}}{15}}$, te se dobija da je emitovana snaga sa jedinične površine apsolutno crnog tela: $j^{\star }=\sigma T^{4}$ gde je $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.$

Termodinamičko izvođenje

Termodinamičko izvođenje Štefan—Bolcmanovog zakona, tj. tvrđenja da je energijska gustina suda iz kog se energija zrači proporcionalna četvrtom stepenu temperature, zasniva se na klasičnom elektrodinamičkom tvrđenju da je pritisak zračenja $p$ sa gustinom unutrašnje energije $u$ povezan preko formule: $p={\frac {u}{3}}$.

Iz fundamentalne termodinamičke relacije $dU=TdS-pdV$, podelom sa $dV$ i pri fiksiranoj temperaturi $T$, a zatim korišćenjem Maksvelove relacije, dobija se:

$\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p$.

Iz definicije energijske gustine $\;u={\frac {U}{V}}\;$ i kako je $\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=u$, dobija se:

$u={\frac {T}{3}}\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {u}{3}}$.

Kako se parcijalni izvod $\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}$ može zapisati samo u funkciji od $u$ i $T$, parcijalna diferencijalna jednačina postaje obična koja se svodi na rešavanje preko razdvajanja promenljivih, te se dobija:

${\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}}$,

odakle se direktno dobija rezultata $u=AT^{4}$, gde je $A$ konstanta integracije što se kasnije ispostavlja da je upravo Štefan—Bolcmanova konstanta.-

Primena i posledice

Štefan—Bolcmanov zakon je važan zakon koji opisuje termalno zračenje i ima brojne primene i posledice.

Rejli-Džinsov i Vinov zakon zračenja

Iz Plankovog zakona se izvodi Rejli-Džinsov zakon zračenja koji opisuje zračenje na velikim talasnim dužinama i Vinov zakon zračenja koji opisuje zračenje malih longituda.

Temperature tela koje se mogu aproksimirati kao apsolutno crna

Štefan—Bolcmanovim zakonom može se izračunati temperatura Sunca, kao što je po prvi put uradio i sam Jožef Štefan. Pre njega, Čarls Soret je procenio da je intenzitet količine zračenja sa Sunca 29 puta jači od uzorka vrelog metalnog lima. Soret je uzeo komad kružnog metalnog lima i postavio ga pod istim uglom pod kojim je video Sunce. Izmerio je da je temperatura lima između 1900 i 2000° °C. Štefan je pretpostavio da jednu trećinu Sunčevog zračenja upije Zemljina atmosfera, tako da je za intenzitet Sunčevog zračenja dobio da je 29 × 3/2 = 43,5 puta veći od uzorka lima, što se kasnije ispostavilo kao tačna procena. Za srednju vrednost temperature lima uzeo je 1950° °C, a pretvaranjem u Kelvine iz zakona $j^{\star }=\sigma T^{4}$ dobio je da je Sunčeva temperatura 5705 К, što nije puno odstupalo od današnje procene na 5778 К.

Analogno za računanje temperature Sunca, zakon se koristi i za približno računanje temperatura drugih tela poznajući njihovu luminoznost i pod pretpostavkom da one zrače kao apsolutno crno telo: $L=4\pi R^{2}\sigma T_{e}^{4},$ gde je L luminoznost ili količina izračene energije u jedinici vremena, σ - Štefan–Bolcmanova konstanta, R – poluprečnik zvezde i T – stvarna temperatura zvezde.

Primenom istog zakona može se grubo proceniti i efektivna temperatura Zemlje T_Z sa aproksimacijom apsolutno crnog tela, pod pretpostavkom da se Sunčevi zraci na površini Zemlje samo upijaju, bez odbijanja.

$T_{Z}=T_{S}{\sqrt {r_{S} \over 2a_{0}}}=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.598\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}\approx 279\;{\rm {K}}=6\;{\rm {C}},$ gde je T_S temperatura Sunca, r_S poluprečnik Sunca, a a₀ rastojanje između Zemlje i Sunca. Ovakvom procenom dobija se da je stvarna temperatura na Zemljinoj površini 6°C, iako je njena stvarna temperatura 14°C.

Poluprečnici zvezda

Pomoću Štefan—Bolcmanovog zakona mogu se računati poluprečnici zvezda, kada se koristi formula koja povezuje poluprečnik, temperaturu i luminoznost u odnosu na iste veličine za Sunce: ${\frac {R}{R_{\odot }}}\approx \left({\frac {T_{\odot }}{T}}\right)^{2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\odot }}}}$

Hokingovo zračenje

Štefan—Bolcmanov zakon ima primenu i u termodinamici crnih rupa za računanje takozvanog Hokingovog zračenja.

Vidi još

• Plankov zakon
• Vinov zakon pomeranja
• Apsolutno crno telo